Utilizando una elasticidad para evaluar los cambios en la variable dependiente

Question

A menudo en los libros de texto y en línea veo thte definición de elasticidad a ser como sigue:

1) $\epsilon = \frac{\frac{\Delta Y}{Y}}{\frac{\Delta X}{X}}= \frac{\partial \log Y}{\parcial \log X}$

Por lo tanto, cuando se utiliza una elasticidad junto con un cambio porcentual en X para estimar un porcentaje de cambio en Y, parece tener sentido que uno podría multiplicar el porcentaje de cambio en X por la elasticidad de la siguiente manera:

2) ${\frac{\Delta Y}{Y}}=\epsilon\cdot(\frac{\Delta X}{X})$

Sin embargo, en un caso que he visto mencionar que es más exacto para estimar el porcentaje de cambio en Y de la manera siguiente:

3) ${\frac{\Delta Y}{Y}}=(\frac{X_2}{X_1})^\epsilon-1$

Estoy tratando de aplicar las elasticidades derivados de la estimación de registro-registro de modelos de regresión y agradecería un poco de orientación en cuanto a si la fórmula #2 o #3 es más apropiado cuando la evaluación de impactos en Y como resultado de cambios en X.

Por favor alguien puede explicar por qué la fórmula #3 puede ser más apropiado que la fórmula #2? Y ¿cómo se consigue matemáticamente a partir de la fórmula #1 a la fórmula #3?

Answer 1

¿por qué la fórmula #3 puede ser más apropiado que la fórmula #2?

En realidad, #2 es una aproximación lineal de la #3.

Tenga en cuenta que

$\partial \log Z$

puede ser escrita/visto como

$\log Z_2 - \log Z_1 = \log\frac{Z_2}{Z_1} (\aprox 0)$

donde los de arriba diferencia es infinitesimal, de ahí el uso de $\parcial de$. En tal caso, #1 puede ser escrito como

$\epsilon = \frac{\frac{\Delta Y}{Y}}{\frac{\Delta X}{X}}= \frac{\log (Y_2/Y_1)}{\log (X_2/X_1)}$

De forma equivalente, la citada igualdad es cierto sólo porque se trata de cambios infinitesimales. Lo que significa que si, por ejemplo, $Y_2 >> Y_1$, por encima de la igualdad implica una aproximación, es decir,

$\epsilon = \frac{\log (Y_2/Y_1)}{\log (X_2/X_1)} \approx \frac{\frac{\Delta Y}{Y}}{\frac{\Delta X}{X}}$

Lo que conduce a #2:

$\frac{\Delta Y}{Y} \approx \epsilon \frac{\Delta X}{X}$

En realidad, el más pequeño $\Delta Y$ y $\Delta X$, mejor será la aproximación.

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¿cómo conseguir matemáticamente a partir de la fórmula #1 a la fórmula #3?

$\epsilon = \frac{\log (Y_2/Y_1)}{\log (X_2/X_1)}$

$\Leftrightarrow \log \frac{Y_2}{Y_1} = \epsilon \log \frac{X_2}{X_1} =$ $\log\left[\left(\frac{X_2}{X_1}\derecho)^\epsilon\derecho]$

$\Leftrightarrow \frac{Y_2}{Y_1} = \left(\frac{X_2}{X_1}\derecho)^\epsilon$

$\Leftrightarrow \frac{Y_2}{Y_1} -1 = \frac{Y_2 - Y_1}{Y_1} = \frac{\Delta Y}{Y}= \left(\frac{X_2}{X_1}\derecho)^\epsilon -1$