Encontrar la probabilidad de que la rentabilidad de la función está en $[10,20]$

Question

En el momento $t=0$ compramos opción con fecha de vencimiento $T=2$. La rentabilidad de la función de esta opción es dada por:

$$f=(\max_{t\[0,T]} S_t -110)^{+}$$

donde $S_t$ satisface

$$dS_t=15dW_t$$ $$S_0=95$$

Hallar la probabilidad P $f\in[10,20])$. Uso acumulativa de la función de densidad de la distribución normal estándar para expresarlo.

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Obviamente

$$S_t=95+15W_t$$

Pero no tengo ninguna idea de cómo puedo avanzar más. Cualquier ayuda por favor?

Answer 1

En general:

$P(f\in[10,20]) = P(120 \leq S_t \leq 130) = P(S_t \leq 130) - P(S_t \leq 120)$ Es decir, la probabilidad de que la opción es entre 10 y veinte, es el mismo que el stock está entre 120 y 130. La probabilidad de que el stock es de entre 120 y 130 es la probabilidad de que el stock es de menos de 130 menos la probabilidad de que sea menor que 120. Si eres más visual de la persona considere esta imagen:

Fuente MathWave

Si sabemos que $W_t$ sigue un driftless-Wiener proceso que:

$W_t - W_0 \sim N(0, 15^2t) \rightarrow S_t \sim N(95, 15^2t)$

Si $S_t \sim N(95, 15^2t)$ entonces $P(S_t \leq 130) = $ prob. que una variable aleatoria normal con una media de 95 y de las ets. desviación 15t que es solo la función de distribución acumulativa (CDF) de que la variable aleatoria normal.

De aquí, que el CDF es de $\Phi( (x-95) / (15 \sqrt(t)))$, donde $\Phi$ es el CDF de la normal estándar. Así que la respuesta es $$\Phi( (130-95) / (15 \sqrt t)) - \Phi( (120-95) / (15 \sqrt t))$$

Actualización: Pensé que se trataba de una simple opción de pago, pero esto es realmente un problema más complicado, porque es una mirada hacia atrás la opción de tomar el máximo valor de las acciones de 0 a 2. En general, la idea con esto más complejo el problema es que estamos estudiando en el plazo máximo de un proceso de Wiener movimiento, más que el propio proceso de Wiener. Procesos estocásticos y Relacionados con las Distribuciones por Daniel Herlemont, sección 2 debe ser de alguna ayuda. Pero no tengo una solución a este problema en este momento.

Answer 2

Tal vez estoy familiarizado con una completamente diferente en el fondo de la matemática de las finanzas, pero voy a dejar a mis dos centavos de todos modos.

En primer lugar, tenga en cuenta que

$$ \int d Wt $$

es una integral estocástica y no se puede integrar fácilmente con los métodos estándar. Espero que se ajuste preestablecido con una herramienta de cálculo estocástico.

El siguiente método basado en la no-arbitraje fue introducido por primera vez por Merton.

• Buscamos un derivado precio basado en el precio de $S_t$, que se denota por $\Pi(S_0)$
• Formar una cartera basada en el subyacente $S$ y el derivado de $f$, con una cartera dinámica de $dV_t = V_t (\omega_t^s \frac{dS_t}{S_t} + \omega_t^f \frac{df}{f} )$, donde $\omega$ denota los dos pesos en la cartera
• Estos pesos son elegidos de tal manera que "matar" el componente estocástico $dW$
• Ahora tenemos $dV_t = V_t k dt$
• Debido a la no-arbitraje, $k$ debe ser cero (no hay crecimiento componente en $S_t$ tampoco)
• resolver por $f$