$$ \newcommand{\E}{\mathbb{E}} $$ Vamos a un consumo la secuencia se da $C=(C_0, C_1,...)$ y vamos a $C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$. Ahora, supongamos que tengo el virus de Epstein-Zin preferencias, \begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\derecho)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \derecho\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*} donde $f$ es el momento agregador y $q$ es el condicional certeza operador equivalente. Es decir, $$ f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} $$ y $$ q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\derecho)^{\frac{1}{1-\gamma}}. $$ ¿Cómo puedo demostrar que la elasticidad intertemporal de sustitución se $\rho^{-1}$?
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$ \newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}} \newcommand{\dp}[2]{\frac{\partial #1}{\parcial #2}} $ Aquí está mi solución. Déjeme saber si alguien tiene un limpiador/más claro enfoque.
Considere la posibilidad de un fijo (no al azar) secuencia de consumo $C = (C_0, C_1,...)$. Entonces, la elasticidad intertemporal de sustitución (EIS) se define como $$ \text{EIS} = \left| \frac{\dd \ln(C_s/C_t)}{\dd \ln MRS_{s,t}}\right| = \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \|derecha. $$ Para calcular esta cifra, vamos a empezar por computación \begin{align*} \pd{U_t}{C_t} &= f_c(C_t, q_t(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ &= \frac{1}{1-\rho} \left( (1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho} \derecho)^{\frac{\rho}{1-\rho}} (1-\beta) (1-\rho) C_t^{-\rho} \\ &= (1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}. \end{align*} También, \begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}}. \end{align*} Será más fácil para calcular estas piezas en partes. En primer lugar, $$ f_q = \beta f^{\rho} q_t^{-\rho}. $$ A continuación, considere $\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}}$. Esto se simplifica por el hecho de que $C$ es no aleatoria, $$ \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} = q_t^\gamma U_{t+1}^{-\gamma} = 1. $$ Finalmente, $$ \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} = (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}, $$ lo que sigue a partir de nuestra anterior cálculo. Por lo tanto, \begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} \\ &= \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}, \end{align*} donde $f_t = f(C_t, q_t)$ y $q_t = q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))$. Ahora, podemos calcular \begin{align*} \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} &= \frac { \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}} {(1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}} \\ &= \beta q_t^{-\rho} f_{t+1}^{\rho} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\derecho)^{-\rho}\\ \end{align*} Ahora, vamos a $$ \frac{p_{t+1}}{p_t} = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t}. $$ Luego, tomando el diferenciales, $$ \dd \left(\frac{p_t}{p_0}\right) = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\derecho)^{-1} (-\rho) \dd \frac{C_{t+1}}{C_t}. $$ Así, \begin{align*} \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} &= \left( \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\derecho)^{-1} (-\rho) \derecho)^{-1} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \\ &= -\frac{\frac{C_{t+1}}{C_t} \frac{p_{t+1}}{p_t}} {\frac{p_{t+1}}{p_t} \frac{C_{t+1}}{C_t}} \rho^{-1} = -\rho^{-1}. \end{align*} Ahora, conectando en la definición de la EIS, \begin{align*} \text{EIS} &= \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right | \\ &= \left| \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \right| \\ &= \rho^{-1}. \end{align*}
Mediante el uso de notación compacta, y un audaz tratamiento de la diferencial símbolo $\text{d}$, creo que se puede atajo de esta manera.
Matemáticamente, este es un bivariante CES función, así que sabemos que la elasticidad de sustitución constante entre los dos argumentos, todo lo que son.
$$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} = \left[h(c,q\ \ derecho)^{\frac{1}{1-\rho}}$$
Entonces
$$\frac {\partial f}{\partial c} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\ \ derecho)^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_c$$
y
$$\frac {\partial f}{\partial q} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\ \ derecho)^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_q$$
Así
$$\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q} = \frac{h_c}{h_q} = \frac {(1-\beta)}{\beta}\cdot (c/p)^{-\rho}$$
Más
$$\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right) = \ln\frac {(1-\beta)}{\beta} -\rho\ln (c/p)$$
$$\implica \text{d}\left[\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\derecho)\right] = -\rho\cdot \text{d}\,\ln (c/p)$$
desde que el primer término es una constante. Así que, finalmente,
$$\text{EIS} = \left|\frac{\text{d}\, \ln \a la izquierda(c/q\ \ derecho)} {\text{d}\, \ln \left( \frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)} \derecho |$$
$$=\left|\frac{\text{d}\, \ln \a la izquierda(c/q\ \ derecho)} {-\rho\cdot \text{d}\,\ln (c/p)} \derecho | = \rho^{-1}$$
No le diga a su amigo el matemático, sino que se lo digan a Leibniz.
