Cuando es una utilidad de la representación diferenciable?

Question

Sabemos que si empezamos con un conectada, separable espacio del producto $V_1\times,...,\times V_n$ y una completa, transitiva, y la continua preferencia relación $\succsim$ en este espacio del producto, que existe una continua! la utilidad de la representación $u:V_1\times,...,\times V_n\rightarrow \mathbb{R}$. Sin embargo, la continuidad $\neq$ la diferenciabilidad. Por lo tanto, tengo curiosidad por saber en qué condiciones existe incluso una diferenciable función de utilidad.

Mi primera idea sería, al menos, restringir el espacio de los productos a $\mathbb{R}^n$, pero puede haber contraejemplos. Por ejemplo, si $n=1$ y $u$ es la función de Weierstrass, $u$ es continua, pero no derivable.

Dado que en la Economía trabajamos constantemente con diferenciable de la utilidad, me pregunto qué suposiciones son necesarias para garantizar la diferenciabilidad.

Answer 1

Un continuo, transitiva, completa, convexa, y localmente no saciada de preferencia en un abierto convexo subconjunto $V$ algunos $\mathbb{R}^l$ tiene $r$-veces continuamente diferenciable de la utilidad de la representación sin puntos críticos si y sólo si el espacio $I=\{(x,y)\in V\times V\mid x\sim y\}$ es un $C^r$-colector.

Este resultado es esencialmente la Proposición 2.3.9. en el libro "La Teoría General del Equilibrio Económico: Un Diferenciable Enfoque" por Andreu Mas-Colell. En realidad, el resultado no sustituye a la convexidad de $V$ y la relación de preferencia para ser representado por la debilidad de la condición de que todas las curvas de indiferencia son conectados.

No estoy al tanto de la más elemental enfoque del problema.

Answer 2

Aquí hay algunas referencias para un poco de insatisfacción en la imagen.

Rubinstein las notas de la conferencia en la teoría microeconómica a discutir una condición necesaria para la diferenciabilidad.

Debreu proporciona las condiciones necesarias y suficientes para la diferenciabilidad de funciones de demanda. Por desgracia, no son muy intuitiva.

Debreu, G. (1972). Suave Preferencias. Econometrica, 40(4), 603-615. Debreu, G. (1976). Suave Preferencias: Una Corrección De Errores. Econometrica, 44(4), 831.

Answer 3

Si usted desea imponer condiciones suficientes sobre las preferencias, lamentablemente me parece que esto es casi imposible. Si una función de utilidad se describe una preferencia de pedido, a continuación, lo hace cada monótona de transformación de la misma función de utilidad. Si la función de utilidad de $U$ tarda al menos dos valores, por ejemplo, de $a$ y $b$, se puede utilizar la siguiente forma monotónica $$ f(u) = \left\{ \begin{array}{ll} u & \mbox{ si } u \leq \frac{a+b}{2} \\ \\ u + 1 & \mbox{ si } u > \frac{a+b}{2}. \end{array} \right. $$ para obtener una nueva función de utilidad de $f(U)$ que todavía describir las mismas preferencias. Sin embargo, esta función no sea derivable, incluso si $U$ era. La única manera de garantizar que una función de utilidad que describe la preferencia de pedido siempre es diferenciable es si no se permitirá ninguna forma de tomar dos valores diferentes, es decir, si todas las mercancías son neutrales para el consumidor.

Si usted desea imponer condiciones sobre las funciones de utilidad en sí a mí me parece que habría que exigir que las utilidades marginales existen y son continuas a lo que es lo mismo que decir que la función de utilidad es diferenciable. Así que esto no es muy útil condición. Una mejor condición puede existir, pero yo no lo creo.