Estoy tratando de calibrar el modelo Vasicek, es decir, determinar los parámetros $\kappa, \mu, \bar{\mu}$ y $\sigma$ donde la dinámica del proceso se da a través de $$ dr_t=\kappa\left( \mu - r_t\right) dt+\sigma d W^{\mathbb{P}}(t), $$ $$ dr_t=\kappa\left( \bar{\mu}- r_t\right) dt+\sigma d W^{\mathbb{Q}}(t), $$
donde $W^{\mathbb{P}}$ es un proceso de Wiener bajo la medida de probabilidad objetiva, del mundo real $\mathbb{P}$, y $W^{\mathbb{Q}}$ es un proceso de Wiener bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ (medida equivalente a $\mathbb{P}$).
Utilizando proxies históricos para tasas de interés a corto plazo (tasas diarias a partir del 01/01/2012), primero intenté trabajar en la calibración del mundo real, es decir, determinar los parámetros $\kappa, \mu$ y $\sigma$, para lo cual utilicé un enfoque de regresión simple y terminé con los siguientes valores: $$ \kappa = 3.1527, \\ \mu= 0.003, \\ \sigma= 0.0034.$$
La imagen muestra datos históricos reales frente a dos simulaciones de mi modelo Vasicek calibrado.
¿Estos parámetros parecen razonables? Me preocupa principalmente lo grande que es $\kappa$ en relación con los otros parámetros. Intuitivamente, pienso que esto hace que mi proceso de tasa corta sea más volátil y no de manera estocástica, pero la deriva determinista es tan grande en comparación con la media del proceso, que hace que salte mucho (disculpa mi lenguaje obviamente muy novato aquí). Y luego, viéndolo analíticamente, la volatilidad de un proceso Vasicek es conocida y es igual a $\text{Std}\left( r_t \right)=\sqrt{\frac{\sigma^2}{2 \kappa} \left[1-e^{-2 \kappa t} \right]}$, y como mi $\kappa$ es tan grande, mi volatilidad (estocástica) no es tan grande, así que es la enorme deriva determinista la que está volviendo loco a mi proceso (¿o estoy completamente equivocado aquí?). Además, si lo que estoy diciendo es correcto, ¿cómo es que nuestras dos simulaciones en muchos casos muestran la situación en la que $r(t)$ es, por ejemplo, más grande que $\mu$, pero en el siguiente paso no es presionado hacia $\mu$ con una 'gran' deriva determinista?
En general, agradecería mucho cualquier tipo de información al respecto: ¿son estos parámetros simplemente demasiado locos y deberían descartarse? Si es así, ¿qué otro método de calibración sugerirías?
También, una vez que pase la calibración del mundo real, ¿qué enfoques sugerirías para el ajuste a la medida de riesgo neutral? Estaba pensando simplemente en encontrar $\bar{\mu}$ como $$ \text{argmin}\sum_{T \in \{3,5,7,10,15\}} \left| P(T)-\bar{P}(T) \right|^2,$$ donde $P(T)$ es el precio de mercado observado hoy de un bono cupón cero de vencimiento $T$, y $\bar{P}(T)$ es el precio implícito hoy del modelo de un bono cupón cero de vencimiento $T$ (una función de $\bar{\mu}$). ¿Crees que debería incluir más fechas y no solo hoy?
En fin, disculpas por mi pregunta tan dispersa. Estoy confundido con tantas preguntas sobre esto y realmente apreciaré cualquier ayuda, información, punto de vista o sugerencia al respecto. Gracias de antemano.
