Estoy tratando de calibrar el modelo de Vasicek, es decir, determinar los parámetros $\kappa, \mu, \bar{\mu}$ y $\sigma$ donde la dinámica del proceso se da a través de $$ dr_t=\kappa\left( \mu - r_t\right) dt+\sigma d W^{\mathbb{P}}(t), $$ $$ dr_t=\kappa\left( \bar{\mu}- r_t\right) dt+\sigma d W^{\mathbb{Q}}(t), $$
donde $W^{\mathbb{P}}$ es un proceso de Wiener bajo la medida de probabilidad objetiva del mundo real $\mathbb{P}$, y $W^{\mathbb{Q}}$ es un proceso de Wiener bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ (medida equivalente a $\mathbb{P}$).
Usando proxies históricos de tasas de interés a corto plazo (tasas diarias a partir del 01/01/2012), primero intenté trabajar en la calibración del mundo real, es decir, determinar los parámetros $\kappa, \mu$ y $\sigma$, para lo cual utilicé un enfoque de regresión simple y terminé con los siguientes valores: $$ \kappa = 3.1527, \\ \mu= 0.003, \\ \sigma= 0.0034.$$
La imagen muestra datos históricos reales vs. dos simulaciones de mi modelo de Vasicek calibrado.
¿Estos parámetros parecen razonables? Me preocupa principalmente lo grande que es $\kappa$ en relación con otros parámetros. Intuitivamente, me hace pensar que hace que mi proceso de tasa de interés a corto plazo sea más volátil y no de manera estocástica, pero la deriva determinista es tan grande en comparación con la media del proceso, que hace que salte mucho (disculpa por mi lenguaje obviamente muy novato aquí). Y luego, analizando - la volatilidad de un proceso de Vasicek es conocida y es igual a $\text{Std}\left( r_t \right)=\sqrt{\frac{\sigma^2}{2 \kappa} \left[1-e^{-2 \kappa t} \right]}$, y por lo tanto, dado que mi $\kappa$ es tan grande, mi volatilidad (estocástica) no es tan grande, así que es la enorme deriva determinista la que hace que mi proceso sea tan loco (¿o estoy completamente perdido aquí?). Además, si lo que estoy diciendo es correcto - ¿cómo es que nuestras dos simulaciones en muchos casos muestran la situación en la que $r(t)$ es, por ejemplo, mayor que $\mu$ pero en el siguiente paso no es empujado hacia abajo hacia $\mu$ con una 'gran' deriva determinista?
En general, agradecería mucho cualquier idea al respecto - ¿son estos parámetros simplemente demasiado locos y deberían descartarse? En caso afirmativo - ¿qué otro método de calibración sugerirías?
También, una vez que pase la calibración del mundo real - ¿qué enfoques sugerirías para la calibración del mundo neutral al riesgo también? Estaba pensando simplemente encontrar $\bar{\mu}$ como $$ \text{argmin}\sum_{T \in \{3,5,7,10,15\}} \left| P(T)-\bar{P}(T) \right|^2,$$ donde $P(T)$ es el precio de mercado observado hoy de un bono cupón cero de vencimiento $T$, y $\bar{P}(T)$ es el precio implícito hoy del bono cupón cero de vencimiento $T$ del modelo (función de $\bar{\mu}$). ¿Crees que debería incluir más fechas y no solo hoy?
De todos modos, disculpas por esta pregunta tan dispersa. Estoy desconcertado con tantas preguntas sobre este tema, y realmente apreciaré cualquier ayuda, idea, punto de vista, sugerencias al respecto. Gracias de antemano.
