Mejor comprensión del método Datar Mathews - Valoración de opciones reales

Question

En su artículo "European Real Options: An intuitive algorithm for the Black and Scholes Formula" Datar y Mathews proporcionan una prueba en el apéndice de la página 50, que no me queda muy clara. Se supone que muestra la equivalencia de su fórmula $E_{o}(max(s_{T}e^{-\mu T}-xe^{-rT},0))$ y Black y Scholes.

En referencia a Hull(2000), definen $y=s_{T}e^{-\mu T}$ y luego hacer la siguiente transformación:

$E_{o}(max(s_{T}e^{-\mu T}-xe^{-rT},0))$ $=\intop_{-xe^{-rT}}^{\infty}(s_{T}*e^{-\mu T})g(y)dy$ $=E(s_{T}e^{-\mu T})N_{d_{1}}-xe^{-rT}N_{d_{2}}$

Una adición: En realidad, en el documento que dice $E_{o}(max(s_{T}e^{-\mu T}-xe^{-rT}),0)$ por lo que el 0 está fuera de los paréntesis. Sin embargo, no estoy seguro de si se trata de un error tipográfico y debería ser más bien $E_{o}(max(s_{T}e^{-\mu T}-xe^{-rT},0))$ . No estoy familiarizado con una función E(max(x),0)

$\mu$ y $r$ son dos tipos de descuento diferentes, uno es el WACC y el otro el tipo sin riesgo.

¿Podría sustituir $V=s_{0}e^{-\mu T},K=xe^{-rT}$ ¿Seguir los pasos de la BS y volver a sustituir? En otras palabras, ¿con qué limitaciones se $E\left[max(V-K,0)\right]=E(V)N(d_{1})-KN(d_{2})$ ¿Válido?

La investigación relacionada con ella es una comparación de diferentes métodos de valoración de opciones reales.

¿Alguien podría ayudarme?

Gracias de antemano.

Maíz

Answer 1

No sé lo que $\mu$ en el modelo, así que permítanme recordar el formalismo estándar de Black-Scholes. Es probable que todo pueda ampliarse con pequeñas modificaciones al modelo que te interesa.

El precio de la opción de compra vainilla con un strike $K$ es igual a la expectativa de la retribución descontada $$C_K=\mathbb E(e^{-rT}(S_T-K)_+),$$ donde $(S_T-K)_+:=\max(S_T-K,0)$ y $\mathbb E$ se toma con respecto a la medida neutral de riesgo $\mathbb P$ . Suponiendo que $\mathbb P$ admite una densidad continua $p(y)$ tenemos que $$\mathbb E(e^{-rT}(S_T-K)_+)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-rT}(S_T-K)_+p(S_T)dS_T.$$ Ahora, en el mundo de riesgo neutral de Black-Scholes $$S_T=S_0\exp\left(rT-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma\sqrt{T}N(0,1)\right).$$ Recordando que la densidad de $N(0,1)$ es $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-s^2/2}$ obtenemos que $$C_K=\frac{e^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s^2/2}\left(S_0\exp\left(rT-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma\sqrt{T}s\right)-K\right)_+ds.$$ El integrando es distinto de cero si y sólo si $$S_0\exp\left(rT-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma\sqrt{T}s\right)>K,$$ es decir, cuando $$s> a=\frac{\ln(K/S_0)+\sigma^2T/2-rT}{\sigma\sqrt{T}}.$$ Por lo tanto $$C_K=\frac{e^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{\infty}e^{-s^2/2}S_0\exp\left(rT-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma\sqrt{T}s\right)ds-\frac{e^{-rT}}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{\infty}e^{-s^2/2}Kds,$$ lo que implica, tras algunas manipulaciones sencillas, la fórmula estándar de Black-Scholes $$C_K=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2).$$ Tenga en cuenta que $S_0=\mathbb E(e^{-rT}S_T)$ ya que el precio descontado de las acciones es una martingala bajo la medida neutral de riesgo.