Acerca de la elasticidad de sustitución intertemporal

Question

El inter temporal de la elasticidad de sustitución entre dos períodos de tiempo, es $$\sigma=-\frac{d[\ln(c(s)/c(t))]}{d[\ln(U'(c(s))/U'(c(t)))]}$$ necesito demostrar que $$\lim_{s \t}\sigma = -\frac{U'(c(t))}{U(c(t) c(t)}$$ Por tanto, tengo la siguiente por la definición de la diferencial total:

$$\sigma=-\frac{ \frac{dc(s)}{c(s)}-\frac{dc(t)}{c(t)}}{ \frac{U"(c(s))}{U'(c(s)}cd(s)- \frac{U(c(t))}{U'(c(t)}dc(t) }$$ Entonces si $s$ tiende a $t$ tenemos una indeterminación $0/0$ por lo tanto, utilizamos la Regla de L'Hôpital. Ese es mi problema, no sé cómo derivar con respecto a $c(s)$.

Answer 1

Para cerrar esta: Como escribí en mi comentario inicial, se debe considerar la derivada con respecto a los $s$, no $c(s)$. Este principio significa que cualquier cosa que contenga $t$ tiene un cero de la derivada. Así tenemos

para el numerador

$$\frac {d\ln(c(s)/c(t))}{ds} = \frac {c'(s)}{c(s)}$$

y para el denominador

$$\frac{d[\ln(U'(c(s))/U'(c(t)))]}{ds} = \frac {U"(c(s))\cdot c'(s)}{U'(c(s))}$$

Formando el cociente de los dos conseguimos después de la simplificación y añadiendo el signo menos deseado

$$\lim_{s \t}\sigma = -\frac{U'(c(t))}{U(c(t) c(t)}$$