Pregunta sobre la paradoja de Ellsberg en la teoría de la utilidad esperada

Question

En von Neumann-Morgenstern El teorema de von Neumann afirma que, suponiendo que las preferencias de una persona bajo riesgo satisfacen ciertos axiomas de racionalidad, existe una función de utilidad u, la función de utilidad de von Neumann, tal que la persona tenderá a maximizar el valor esperado de u. Por esta razón, la hipótesis de que las personas satisfacen los axiomas de racionalidad de von Neumann-Morgenstern se conoce como teoría de la utilidad esperada. Ahora bien, uno de los mayores retos para la teoría de la utilidad esperada es la paradoja de Ellsberg. Es la siguiente.

Supongamos que tienes una urna con un total de 90 bolas, 30 de las cuales son rojas y las otras 60 son negras o amarillas. Y supongamos que se extrae una bola al azar de la urna. Entonces, ¿preferirías la lotería A, en la que te tocan 100 dólares si sale una bola roja, o la lotería B, en la que te tocan 100 dólares si sale una bola negra? La mayoría de la gente preferiría la lotería A. ¿Y preferirías la lotería C, en la que recibes 100 dólares si sacas una bola roja o amarilla, o la lotería D, en la que recibes 100 dólares si sacas una bola negra o amarilla? La mayoría de la gente preferiría la lotería D. Pero la cuestión es que preferir tanto la lotería A a la lotería B como la lotería D a la lotería C es incoherente con la teoría de la utilidad esperada; véase este artículo de Wikipedia para la prueba.

Me gustaría entender un poco mejor esta lógica. Consideremos una urna nueva que sólo tiene 60 bolas, y cada bola es negra o amarilla. Entonces, ¿preferirías la lotería A', en la que obtienes 30 dólares garantizados, o la lotería B', en la que obtienes un dólar por cada bola negra de la urna? Creo que la mayoría de la gente preferiría la lotería A'. ¿Y preferirías la lotería C', en la que recibes 30 dólares más un dólar por cada bola amarilla de la urna, o la lotería D', en la que recibes 60 dólares garantizados? Creo que la mayoría de la gente preferiría la lotería D'.

Así que mi pregunta es, ¿viola la teoría de la utilidad esperada preferir tanto A' a B' como D' a C'? Creo que es coherente con la teoría de la utilidad esperada. Suponiendo que estoy en lo cierto, ¿no se podría cambiar la moneda de "dólares" a "billetes de lotería" en todas las partes de mi ejemplo, donde un billete de lotería te da derecho a una probabilidad de 1/90 de conseguir 100 dólares? Eso transformaría mi ejemplo en el ejemplo de la paradoja de Ellsburg. Entonces, ¿dónde está el fallo de mi razonamiento?

Answer 1

La respuesta corta parece ser que sí, tu ejemplo viola la utilidad esperada... Me parece sobre todo una simple transformación del primer ejemplo que diste (pero te deshiciste de las bolas rojas).

Como ya se ha mencionado en otras respuestas, la utilidad esperada no está preparada para manejar la incertidumbre porque se trata de tomar expectativas y las expectativas no se pueden calcular cuando no se conocen las probabilidades. Por esta razón, creo que es relevante para mi respuesta especificar la distinción entre lo que es el riesgo y la incertidumbre.

• Riesgo: se trata de enfrentarse a un conjunto de probabilidades sobre resultados en los que el agente conoce/comprende los posibles resultados a los que se enfrenta
• Incertidumbre: Se trata de un agente que se enfrenta a un conjunto desconocido de probabilidades sobre posibles resultados

En una versión anterior de mi respuesta, no fui cuidadoso en cómo pensaba y explicaba estas ideas y he aclarado algunas ideas en mi cabeza desde entonces, lo que espero se traduzca en una respuesta más clara. Ahora voy a responder a su pregunta:

Tenemos una urna con 60 bolas. Somos incierto sobre el número de bolas negras y amarillas en esta urna. Imaginemos que presentamos esta urna con las loterías especificadas anteriormente a un individuo (con una función de utilidad monótona $u$ ) y pídales que elijan entre $L_{A'}$ y $L_{B'}$ . Sin pérdida de generalidad, imaginemos que deciden tomar $L_{A'}$ .

Esto nos dice por preferencia revelada $L_{A'} \succ L_{B'}$ lo que implica

$$u(30) > u(B)$$

donde $B$ es el número de bolas negras que se cree que hay en la urna (aquí no hay probabilidades, se trata de algún número al que llegó el decisor y en este momento no sabemos cómo). Esto implica

$$B < 30$$

Ahora imagine que le da al agente la posibilidad de elegir entre $L_{C'}$ y $L_{D'}$ y el agente elige enfrentarse a la lotería $D'$ . Entonces

$$u(60) > u(30 + (60-B))$$

donde $(60-B)$ es el número de bolas amarillas que el agente debe pensar que hay en la urna. Esto implica que

$$60 > 30 + (60-B) \Rightarrow B > 30$$

Esto significa que un agente no puede preferir $L_{A'}$ a $L_{B'}$ y prefieren $L_{C'}$ a $L_{D'}$ porque eso implicaría $B > 30$ y $B < 30$ . Es difícil hablar de dónde $B$ viene de que es un concepto difícil de pensar cuando estamos acostumbrados a trabajar en términos de valor esperado, este agente no puede calcular cualquier tipo de expectativa sobre los conjuntos de valores que considere $B$ yace en. Como ejemplo de esto, permítanme utilizar un enfoque max-min.

Imaginemos que cuando le presentan la urna y las loterías le dicen que el número de bolas negras es 15 o 45, pero el agente no sabe con qué probabilidad es 15 y con qué probabilidad es 45.

• Lotería $A'$ le dará $u(30)$ unidades de utilidad seguro
• Lotería $B'$ le dará $u(15)$ unidades de utilidad o $u(45)$ unidades de utilidad.
• Lotería $C'$ le dará $u(75)$ unidades de utilidad o $u(45)$ unidades de utilidad.
• Lotería $D'$ le dará $u(60)$

Al agente le preocupa la incertidumbre (una interpretación del max-min es que piensa que es una urna mágica que hace todo lo posible por pagar lo menos posible, por lo que elegirá el valor que le deje en peor situación si le dan a elegir). Entonces, utilizando esto en su proceso de decisión al comparar $L_{A'}$ y $L_{B'}$ cree que estas loterías pagarán las siguientes cantidades

• $L_{A'}$ pagará $u(30)$
• $L_{B'}$ pagará $\min(u(15), u(45)) = u(15)$

así elige la lotería $A'$ . Consideremos ahora $L_{C'}$ y $L_{D'}$ . Cree que estas loterías pagarán

• $L_{C'}$ pagará $\min(u(45), u(75)) = u(45)$
• $L_{D'}$ pagará $u(60)$

así elegiría lotería $D'$ . Éste es un ejemplo de cómo puede tratarse la incertidumbre en un problema como éste, pero no es en absoluto el único.

Nota: Anteriormente pensé que había una parte de mi respuesta que hablaba de priores sobre el valor de $B$ pero esto no se pensó cuidadosamente. Usted puede tener múltiples valores que se podría imaginar $B$ pero en cuanto se asigna una distribución de probabilidad a cualquiera de estos valores, se abandona el ámbito de la incertidumbre y se entra en el del riesgo.

Answer 2

"...uno de los mayores retos para la teoría del valor esperado es la paradoja de Ellsberg".

Hmm, ¿pero en qué sentido? La paradoja de Elsberg es pas como otras paradojas relacionadas que rodean a la teoría de la Utilidad Esperada, (como la de Allais o la de Machina). En la paradoja de Elsberg falta algo en el marco en el que se inscribe la teoría de la Utilidad Esperada : hay probabilidades desconocidas o "Incertidumbre Knightiana" -y la teoría de la Utilidad Esperada no está construida para operar en un entorno así.

Pero entonces, la teoría de la Utilidad Esperada es pas refutada por la paradoja de Ellsberg. Lo que hace la paradoja es llamar nuestra atención sobre el hecho de que existen situaciones en el mundo real en las que la Utilidad Esperada es inaplicable . Es decir, no puede ser un universal teoría. Pero eso no debería sorprender: ¿qué teoría de las Ciencias Sociales se sostiene universalmente a través del espacio y el tiempo?

El valor de la paradoja de Ellsberg es que nos obliga a modificar la teoría de la Utilidad Esperada, o a idear alguna teoría complementaria para tratar los casos en los que existe "Incertidumbre Knightiana", y los responsables de la toma de decisiones no conocen las probabilidades reales ni se forman probabilidades subjetivas -pero deciden de formas que aún no hemos comprendido del todo cómo modelar (aunque " aversión a la ambigüedad " que es la forma predominante de racionalizar la paradoja de Ellsberg ya se ha formalizado en gran medida).

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En cuanto al marco de toma de decisiones que crea en la segunda parte de la respuesta, observo que el "La paradoja de Ellsberg" es un fenómeno empírico observado . Creas otro marco y te limitas a decir "creo que la gente preferiría esto o aquello" -y no tienes ni observaciones reales que lo respalden, ni siquiera un argumento teórico y/o matemático de por qué crees que "la gente preferiría" lo que tú crees que preferiría. Así que si el marco que has creado es equivalente al que caracteriza la "paradoja de Ellsberg" (y deberías escribir las matemáticas para demostrarlo), entonces me temo que la experiencia registrada refuta tu impresión sobre "lo que la gente preferiría" en el marco que has creado.

Answer 3

Formalmente la paradoja de Ellsberg se define en un entorno de elección diferente al de la utilidad esperada. La paradoja de Ellsberg es un problema para la utilidad subjetiva de Savage cuando existe ambigüedad. Superficialmente parecen iguales porque tienen la misma forma afín, pero en Savage las probabilidades sobre los estados no son objetivas (no son una primitiva) sino que forman parte de la representación. Además, la Utilidad Esperada se define sobre loterías, mientras que la Utilidad Subjetiva de Savage se define sobre "actos". Una buena explicación de la paradoja de Ellsberg y la utilidad subjetiva esperada de Savage se da en http://lesswrong.com/lw/9e4/the_savage_theorem_and_the_ellsberg_paradox/