La Tasa Marginal de Sustitución no es sólo el "cociente de las derivadas parciales": representa la pendiente de una curva de indiferencia. Para obtenerla, hay que asegurarse de permanecer en la misma curva de indiferencia. ¿Cómo hacerlo? Una forma es tomando la diferencial total de la función de utilidad y exigiendo que esta diferencial total sea igual a cero:
$$dU(x_1,x_2) = 0 \implies \frac {\partial U(x_1, x_2)}{\partial x_1} \cdot dx_1 + \frac {\partial U(x_1, x_2)}{\partial x_2} \cdot dx_2 =0$$
y reordenando (y poniendo en este caso $x_2$ en el eje vertical)
$$\implies \frac {dx_2}{dx_1} = -\frac {\partial U(x_1, x_2)/\partial x_1}{\partial U(x_1, x_2)/\partial x_2} = MRS_{x_1,x_2}$$
Si consideramos dos bienes y (no digamos, uno bueno y otro malo), y tenemos no satiación, entonces las derivadas parciales son estrictamente positivas. Así que el signo menos es el que te dice que la pendiente de la curva de indiferencia debe ser algebraicamente negativa, es decir, una curva "descendente". Y esto es un argumento a favor de mantenerlo. Pero, de hecho, a veces la gente omite el signo menos considerando que la negatividad de la pendiente "se sobreentiende". Pero esto puede crear confusión.
Pero bueno, el símbolo $dx_2/dx_1$ también puede leerse como "la derivada de $x_2$ por ejemplo $x_1$ "que es la primera derivada de la ecuación de la curva de indiferencia. Imaginemos ahora una curva de indiferencia convexa al origen. Al aumentar el valor de la variable medida en el eje horizontal ( $x_1$ en nuestro caso), una curva de indiferencia convexa se convierte en más plano . Esto significa que en términos absolutos la pendiente se reduce. Pero en términos algebraicos se hace mayor, porque su valor pasa de ser un número negativo, más cercano a cero .
Yo prefiero mantener las señales visibles en todo momento (muchos descubrimientos científicos efímeros han sumido en la depresión a su descubridor cinco minutos después, cuando se ha dado cuenta de que sólo se trataba de un error de señalización).
Así, si quiero determinar si la curva de indiferencia es convexa, quiero ver la MRS (signo incluido) aumentar en valor, es decir, se vuelven menos negativos, y así también disminución del valor absoluto . Así vemos que "MRS disminuye a medida que nos movemos hacia abajo y hacia la derecha en una curva de indiferencia convexa" utiliza "disminución" en el sentido del valor absoluto .
Y la confusión puede empeorar.
En cualquier caso, hay que calcular
$$\frac {d^2x_2}{dx_1^2}$$
Pero, ¿con o sin el signo menos?
Supongamos que, como yo (y a diferencia de muchos otros), desea mantener el signo menos delante de la tecla $MRS$ . En ese caso, lo que se busca es que aumente el MRS. Para ello, la derivada de la MRS debe ser positiva. Este es, en mi opinión, el 2º argumento a favor de incluir el signo menos, porque sabemos que derivada 2ª positiva significa función convexa (refiriéndose aquí a la ecuación de la curva de indiferencia).
Así que con el signo menos delante al calcular la derivada, positiva $MRS$ derivado $\implies$ $MRS$ aumento del valor algebraico $\implies$ la pendiente del $MRS$ aumenta su valor algebraico, $\implies$ se reduce en valor absoluto, $\implies$ la curva se hace más plana, y entonces sí que es convexa. Dejo la cadena para el caso de ignorar el signo menos como a para quien le interese. Seguramente obtendrás "derivada 2ª negativa $\implies$ curva de indiferencia convexa", que tenderá a desordenar los conocimientos preexistentes en tu cerebro.
Y ver este post .
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Wikipedia dice que "las tasas marginales de sustitución [...] corresponden a la pendiente de una curva de indiferencia ( más exactamente, a la pendiente multiplicada por $-1$ )". Esto explica la discrepancia sobre el signo menos. En general, una preferencia es convexa si una combinación convexa de dos paquetes en la misma curva de indiferencia es preferible a esos dos paquetes. En tu caso, dado que ambas UM son positivas, la convexidad de la preferencia se cumple si las curvas de indiferencia son convexas respecto al origen.