1. Que $(B_t)_{t \geq 0}$ y $(W_t)_{t \geq 0}$ ser dos movimientos Brownianos estándar y dejar $X_t := B_t W_t$ . Es $(X_t)_{t \geq 0}$ una martingala?
La forma más fácil de proceder parece ser aplicar el Lema de Ito, del cual obtenemos: \begin {alinear} dX_t = B_t dB_t + W_t dW_t + d<B, W>_t \end {alinear}
Por lo tanto, $X_t$ es una suma de dos integrales Ito (que son martingales), una constante ( $X_0$ ) y un último término, $d<B, W>_t$ . $X$ sólo debería ser una martingala si el último término es nulo. En general, este término debería ser $d<B, W>_t = \rho dt$ y su magnitud depende de la correlación entre los dos movimientos Brownianos. En general, la respuesta debería ser no, con la excepción de dos movimientos brownianos independientes.
2. Que $Z_t \sim N(0,1)$ y $X_t = \sqrt {t} Z_t$ . Es $X_t$ un movimiento Browniano estándar?
Lo hemos hecho:
\begin {alinear} E(X_{t+s} - X_t) = 0 \\ V(X_{t+s} - X_t) = E \left ( (t+s)Z_{t+s}^2 + (t)Z_t^2 - \sqrt {t} \sqrt {t+s}Z_{t+s} Z_t \right ) \\ \leftrightarrow V(X_{t+s} - X_t) = (t + s)(1) + t(1) + 0 = 2t + s \neq s. \end {alinear}
Por lo tanto, este no es un movimiento Browniano estándar.
3. ¿Están los incrementos de desarticulación de una martingala sin correlación?
Una martingala es un proceso medible e integrable $(M_t)_{t \geq 0}$ con la siguiente propiedad $E(M_t | F_s) = M_s \; \forall t \geq s \geq 0$ de la cual podemos obtener $E(M_t - M_s| F_s) = 0$ . Deje que $0 < i < j < k < l$ Entonces \begin {alinear} E((M_j - M_i)(M_l - M_k)) &= E \left ( M_j (M_l - M_k) - M_i(M_l - M_k) \right ) \\ &= E \left ( M_j (M_l - M_k) \right ) - E \left (M_i(M_l - M_k) \right ) \\ &= E \left ( M_j E(M_l - M_k | F_j) \right ) - E \left (M_i E(M_l - M_k| F_i) \right ) \\ &= 0 + 0 = 0 \end {alinear}
Por lo tanto, la respuesta es sí.
¿Estoy en lo cierto o me equivoqué en alguna parte?
