Condición límite para la Opción Asiática bajo el modelo Black-Scholes

Question

Estoy en busca de Kemna y Vorst del papel:

UN MÉTODO DE FIJACIÓN DE PRECIOS DE OPCIONES BASADAS EN EL PROMEDIO DE LOS VALORES DE LOS ACTIVOS. ver http://www.javaquant.net/papers/Kemna-Vorst.pdf

Deje que $\text{d}S_t = S_tr\text{d}t + S_t\sigma\text{d}W_t$. Vamos a $t_0 \leq t \leq T$, definir $A(t)=\frac{1}{T-t_0}\int^T_{t_0}S_\tau\text{d}\tau$.

La opción Asiática ha de pagar $(A(T)-K)^+$. Deje que $C(s,a,t)$ es el tiempo $t$ precio de la opción Asiática con $S(t)=s(t)=a$. Este papel de reclamaciones en la parte superior de la página 5, que

$\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{\partial C(s,a,t)}{\partial s}=\frac{T t}{T-t_0}e^{-r(T-t)}$, pero esto no es lo que me llegó.

Aquí está mi heurística/no rigurosas derivación. Cuando $S(t)$ es lo suficientemente grande, entonces es casi seguro que estar en el dinero. Entonces

el valor de la opción debe ser aproximadamente $C(a,s,t) = e^{-r(T-t)}\bigg((a-K)+\mathbb E\bigg(\frac{1}{T-t_0}\int^T_tS_\tau\text{d}\tau\bigg)\bigg)= e^{-r(T-t)}\bigg((a-K)+\bigg(\frac{s}{r(T-t_0)} e^{r(T-t)}-1)\bigg)\bigg)$.

(Esto está de acuerdo con (15) en el papel, incluso)

así que calcular la derivada en $\frac{1}{r(T-t_0)}(1-e^{-r(T-t)})$

Lo que afirma el papel parece ser el tiempo derivado de mi respuesta, ver (13). ¿Me equivoco o hay un error en este clásico de papel?

Answer 1

Su análisis es correcto. Desde el riesgo neutral proceso

$$dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t$$

tenemos

$$\mathbb{E}(S_\tau|\mathbb{F}_t) = S_te^{r(\tau-t)}$$

y

$$\mathbb{E}(\int_{t}^{T}S_\tau d\tau|\mathbb{F}_t) = \frac{S_t}{r}[e^{r(T-t)}-1]$$

Por lo tanto, como $S \rightarrow \infty$

$$C(S,a,t) \sim \frac{S_te^{-r(T-t)}}{r(T-T_0)}[e^{r(T-t)}-1] = \frac{S_t}{r(T-T_0)}[1-e^{-r(T-t)}] \texttt{ ---EQ (1)}$$

y $$\lim_{S \rightarrow \infty} \frac{\partial C}{\partial S}=\frac{e^{-r(T-t)}}{r(T-T_0)}[e^{r(T-t)}-1]. \texttt{ ---EQ (2)}$$

Lo más probable, los autores utilizaron el trunca aproximación de Taylor

$$e^{r(T-t)}-1 \aprox r(T-t)$$

para obtener

$$\lim_{S \rightarrow \infty} \frac{\partial C}{\partial S}=\frac{T t}{T-T_0}e^{-r(T-t)} .$$

Así que no está claro si hubo descuido o intención en la expresión que aparece en el papel.

Sin embargo, ambas formas de la condición de contorno son válidos, más o menos. No hay ninguna forma cerrada de la solución de la opción Asiática sin alguna forma de aproximación que, probablemente, hace la diferencia en las dos formas de la condición de contorno irrelevante. Además, si la solución se deriva mediante la resolución de la PDE numéricamente, a continuación, la aplicación de un campo lejano de la condición de contorno deben ser implementadas en el límite de un truncado de dominio -- error numérico de nuevo va a ser más significativo que cualquier discrepancia en la condición de contorno.