Dificultad para entender la paridad put-call de las opciones sobre divisas

Question

Estoy estudiando por mi cuenta para un examen actuarial sobre modelos de economía financiera. Estoy teniendo dificultades para pensar en la paridad put-call para las opciones sobre divisas, concretamente en cómo utilizar la notación. El problema es el siguiente:

Mi libro utiliza la notación $C(x_0, K, T)$ para referirse a una opción de compra de divisas con un tipo de cambio al contado $x_0$ para comprarlo al tipo de cambio $K$ en el momento $T$ y $P(x_0, K, T)$ la opción de venta correspondiente.

Por favor, dígame si mi interpretación es correcta:

He interpretado que (iv) significa $P(1 £, 1.5\frac{\$ }{£}, 0.5) = \$0.03.$

He interpretado que el problema es pedirnos que encontremos $C(1\$ y el de la mujer \frac{£}{{} \$}, 0.5)$ .

El problema es que el primer argumento de esas opciones no parece ser las tasas.

Esto puede no ayudar, pero por la dualidad, $P(1 £, 1.5\frac{\$ {£}, 0,5) = C(1,5\frac{ \$}{£}, 1 £, 0.5)$ .

No veo cómo tomar lo que se nos da y convertirlo en lo que el problema nos pide que encontremos.

Answer 1

La opción de (vender 1 libra/comprar 1,5 dólares) cuesta 0,03 dólares. Ahora divide todo por 1,5:
La opción de (vender 2/3 libras / comprar 1 dólar) cuesta 0,02 dólares. Ahora convierta a libras al tipo de cambio spot:
Cuesta 0,0133 libras la opción de (vender 2/3 libras / comprar 1 dólar). Hecho

Answer 2

Dejemos que $\{X_t \mid t \ge 0\}$ sea el tipo de cambio de $£$ a $\$$ . Además, dejemos que $C(X_0, K, T)$ y $P(X_0, K, T)$ sean los precios de las respectivas opciones de compra y de venta con strike $K$ y la madurez $T$ . Entonces \begin{align*} \frac{1}{X_0}P(X_0,\, K,\, T) = K C\left(\frac{1}{X_0},\, \frac{1}{K},\, T \right). \end{align*} Basado en la condición dada, \begin{align*} P\left(1.5 \$/£, \, 1.5 \$/£,\, 0.5 \right) = 0.03. \end{align*} Entonces, \begin{align*} C\left(\frac{1}{1.5} £/\$, \, \frac{1}{1.5} £/\$,\, 0.5 \right) &= \frac{1}{1.5\times 1.5}\times P\left(1.5 \$/£, \, 1.5 \$/£,\, 0.5 \right)\\ &\approx 0.01333. \end{align*}

$$ $$ La fórmula de dualidad anterior puede derivarse como sigue. Obsérvese que, para el pago de la opción de venta al vencimiento $T$ , \begin{align*} (K-X_T)^+ = KX_T\left(\frac{1}{X_T} - \frac{1}{K} \right)^+. \end{align*} Dejemos que $P_d$ y $P_f$ denotan, respectivamente, las medidas neutrales al riesgo del USD y de la GBP. Además, dejemos que $E_d$ y $E_f$ denotan los operadores de expectativa correspondientes a $P_d$ y $P_f$ . Tenga en cuenta que, \begin{align*} \frac{dP_d}{dP_f}\big|_T=\frac{X_0 e^{r_d T}}{X_T e^{r_f T}}, \end{align*} donde $r_d$ y $r_f$ son los tipos de interés respectivos del USD y la GBP. Entonces, \begin{align*} P(X_0, K, T) &= E_d\left(\frac{1}{e^{r_d T}} (K-X_T)^+\right)\\ &=E_d\left(\frac{KX_T}{e^{r_d T}} \left(\frac{1}{X_T} - \frac{1}{K} \right)^+\right)\\ &= E_f\left(\frac{dP_d}{dP_f}\big|_T\frac{KX_T}{e^{r_d T}} \left(\frac{1}{X_T} - \frac{1}{K} \right)^+\right)\\ &= X_0 K E_f\left(\frac{1}{e^{r_f T}} \left(\frac{1}{X_T} - \frac{1}{K} \right)^+\right)\\ &= X_0 K C\left(\frac{1}{X_0},\, \frac{1}{K},\, T \right). \end{align*} Eso es, \begin{align*} \frac{1}{X_0}P(X_0,\, K,\, T) = K C\left(\frac{1}{X_0},\, \frac{1}{K},\, T \right). \end{align*}

Answer 3

Una llamada permite comprar una unidad de subyacente por un precio de ejercicio x. Por lo tanto, una opción de compra sobre GBP en USD nos permite comprar 1 unidad de GBP por un precio x. Sin embargo, dado que se trata de FX, aclaremos que se trata de USD x y que 1 USD nos da 1/x de GBP.

Una opción de venta le permite vender una unidad de subyacente por un precio de ejercicio y (= 1/x). Así pues, una opción de venta sobre el dólar en libras esterlinas nos permite vender una unidad de dólar por el precio 1/x. De nuevo, para especificar, se trata de GBP 1/x. Así, por x unidades de USD, obtenemos 1 GBP

Los dos casos anteriores son la misma operación (salida de USD para entrada de GBP con opciones). En función de la moneda base, podemos considerarla como una opción de compra (base USD) o una opción de venta (base GBP). Esto es lo que mencionó @Alex C en su respuesta.

Answer 4

En el mercado de divisas, un contrato puede considerarse igualmente como una opción de compra o de venta, según el punto de vista: una opción de compra sobre dólares o una opción de venta sobre libras esterlinas. No se trata de un Put-call-parity, que no es necesario para este problema, sino de dos nombres para la misma cosa. Lo único que hay que hacer es invertir el strike y convertir el precio a la otra moneda: 0,03 usd son 0,02 gbp.