Dos definiciones de arbitraje en lo finito de los mercados

Question

He leído dos definiciones del término de un arbitraje oportunidad en la literatura*. Son equivalentes?

Considere la posibilidad de un periodo único modelo de mercado sobre el espacio medible $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_M\}$, que comprende $n + 1$ activos $S^0, S^1, \dots, S^n$, de los cuales $S^0$ es el activo libre de riesgos, con el riesgo de tasa de interés libre de $R \geq 0$. Una cartera es de $n + 1$ tupla $(x_0, x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$.

Definición 1 Una cartera de $(x_0, \dots, x_n)$ es una oportunidad de arbitraje iff

1. $x_0 S^0_0 + \cdots + x_n S^n_0 = 0$,
2. $x_0 S^0_1 + \cdots + x_n S^n_1 \geq 0$ para todo $\omega \en \Omega$,
3. $x_0 S^0_1 + \cdots + x_n S^n_1 > 0$ para algunos $\omega \en \Omega$.

Definición 2 Una cartera de $(x_0, \dots, x_n)$ es una oportunidad de arbitraje iff

$$ x_1 (\frac{1}{1 + R} S^1_1 - S^1_0) + \cdots x_n (\frac{1}{1 + R} S^n_1 - S^n_0) \geq 0 $$ para todo $\omega \en \Omega$ con desigualdad estricta mantiene presionado durante, al menos, uno de $\omega \en \Omega$.

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* Definición 1 es de Capiński & Kopp la "Discreta Modelos de los Mercados Financieros" (Cambridge University Press 2012), mientras que la definición 2 es de Romano "Introducción a las Matemáticas de las Finanzas: el Arbitraje y la Opción de fijación de Precios", 2ª edición (Springer, 2012).

Answer 1

Son equivalentes. A partir de la Definición 1, tenga en cuenta que $S_1^0 = S_0^0(1+R)$. Entonces \begin{align*} x_0 S_1^0 + \cdots x_n S_1^n &= x_0 S_0^0 (1+R)+ x_1 S_1^1 + \cdots x_n S_1^n\\ &= (-x_1 S_0^1 - \cdots -x_n S_0^n) (1+R)+ x_1 S_1^1 + \cdots x_n S_1^n\\ &= x_1 \left(S_1^1 - S_0^1(1+R) \derecho) + \cdots + x_n \left(S_1^n - S_0^n(1+R) \derecho)\\ &=(1+R)\bigg[x_1,\Big(\frac{S_1^1}{1+R} - S_0^1 \Big) + \cdots + x_n\Big(\frac{S_1^n}{1+R} - S_0^n \Big) \bigg]. \end{align*} Es decir, la definición 1 implica 2.definición

Por otro lado, se asume que la definición 2 se mantiene. A continuación, vamos a $S_0^0 = 1$ y \begin{align*} x_0 = -x_1 S_0^1 - \cdots - x_n S_0^n. \end{align*} Es fácil comprobar que la definición 1 se mantiene, señalando que $S_1^0 = 1+R$.

Answer 2

Respuesta corta: no parecen equivalentes. En la primera definición, la tasa libre de riesgo es parte de la cartera, y entra con la cantidad de $x_0$. En la segunda definición, que el descuento de los $S_1^n$ cantidades por la tasa libre de riesgo, lo que implica que tiene un arbitraje sólo si la ganancia que obtiene en su cartera de valores (en el tiempo 1), es mayor que la ganancia que podría haber tenido solo por invertir en la libre de riesgo.