Realmente luchando en esta pregunta:
Consideremos un mercado con dos activos $(B,S)$ cuya dinámica de precios satisface \begin{equation} dB_t = B_t r dt \end{equation} \begin{equation} \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, \, \, dS_t = S_t ( r dt + \sqrt{v_t} dW_t) \end{equation} \begin{equation} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, \, dv_t = (a -b v_t ) dt + c \sqrt {v_t} ( \rho dW_t + \sqrt{ 1- \rho^2} dZ_t), \end{equation} donde $r, a, b, c \text{ and } \rho$ son constantes, con $a,b>0$ y $-1 \leq \rho \leq 1$ y $W$ y $Z$ son movimientos brownianos independientes.
Dejemos que $F: [0,T] \times \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ satisfacen la EDP \begin{equation} \frac{\partial F}{\partial t} + Sr \frac{\partial F}{\partial S} + (a-b v_t) \frac{\partial F}{\partial v} + \frac{1}{2} S^2 v\frac{{\partial}^2 F}{\partial S^2} + c \rho Sv \frac{{\partial}^2 F}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2} c^2 v \frac{ {\partial}^2 F}{\partial v^2} = rF, \end{equation} con condiciones de contorno $F(T,S,v) = \sqrt{S}$ .
Introducir una reclamación contingente con pago $\xi_T = \sqrt{S_T}$ .
El problema es demostrarlo en el mercado aumentado, existe un proceso Ito estrictamente positivo $(Y_t)_{t \geq 0}$ tal que $(Y_t ( B_t, S_t, \xi_t))_{t \geq 0}$ es una martingala local, si el tiempo- $t$ El precio del crédito contingente viene dado por $\xi_t = F(t, S_t, v_t)$ .
Lo que he hecho hasta ahora (aplicando la fórmula de Ito y utilizando la EDP) : \begin{equation} d \xi_t = r F(t, S_t, v_t) dt + \bigg( \frac{\partial F}{\partial S} (t, S_t, v_t) \sqrt{v_t} + \frac{\partial F}{\partial v} (t, S_t, v_t) c \sqrt{v_t} \rho \bigg) dW_t + \frac{\partial F}{\partial v} (t, S_t, v_t) c \sqrt{v_t} \sqrt{1-\rho^2} dZ_t. \end{equation} Pruebo $Y$ con $dY_t = m_t dt + n_t dW_t + q_t dZ_t$ para los procesos $(m_t)$ , $(n_t)$ y $(q_t)$ .
La primera condición que $(Y_t B_t)$ es una martingala local nos dice que $m_t=0$ .
La segunda condición que $(Y_t B_t)$ es una martingala local parece decirnos que $n_t= Y_t ( \frac{-r}{1+\sqrt{v_t}})$ .
Lamentablemente, la expresión para $q_t$ es tan complicado que no puedo concluir de ahí que $(Y_t)$ es estrictamente positivo. ¿Alguna idea?
