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arbitraje en el modelo Heston

Realmente luchando en esta pregunta:

Consideremos un mercado con dos activos $(B,S)$ cuya dinámica de precios satisface \begin{equation} dB_t = B_t r dt \end{equation} \begin{equation} \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, \, \, dS_t = S_t ( r dt + \sqrt{v_t} dW_t) \end{equation} \begin{equation} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, \, dv_t = (a -b v_t ) dt + c \sqrt {v_t} ( \rho dW_t + \sqrt{ 1- \rho^2} dZ_t), \end{equation} donde $r, a, b, c \text{ and } \rho$ son constantes, con $a,b>0$ y $-1 \leq \rho \leq 1$ y $W$ y $Z$ son movimientos brownianos independientes.

Dejemos que $F: [0,T] \times \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ satisfacen la EDP \begin{equation} \frac{\partial F}{\partial t} + Sr \frac{\partial F}{\partial S} + (a-b v_t) \frac{\partial F}{\partial v} + \frac{1}{2} S^2 v\frac{{\partial}^2 F}{\partial S^2} + c \rho Sv \frac{{\partial}^2 F}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2} c^2 v \frac{ {\partial}^2 F}{\partial v^2} = rF, \end{equation} con condiciones de contorno $F(T,S,v) = \sqrt{S}$ .

Introducir una reclamación contingente con pago $\xi_T = \sqrt{S_T}$ .

El problema es demostrarlo en el mercado aumentado, existe un proceso Ito estrictamente positivo $(Y_t)_{t \geq 0}$ tal que $(Y_t ( B_t, S_t, \xi_t))_{t \geq 0}$ es una martingala local, si el tiempo- $t$ El precio del crédito contingente viene dado por $\xi_t = F(t, S_t, v_t)$ .

Lo que he hecho hasta ahora (aplicando la fórmula de Ito y utilizando la EDP) : \begin{equation} d \xi_t = r F(t, S_t, v_t) dt + \bigg( \frac{\partial F}{\partial S} (t, S_t, v_t) \sqrt{v_t} + \frac{\partial F}{\partial v} (t, S_t, v_t) c \sqrt{v_t} \rho \bigg) dW_t + \frac{\partial F}{\partial v} (t, S_t, v_t) c \sqrt{v_t} \sqrt{1-\rho^2} dZ_t. \end{equation} Pruebo $Y$ con $dY_t = m_t dt + n_t dW_t + q_t dZ_t$ para los procesos $(m_t)$ , $(n_t)$ y $(q_t)$ .

La primera condición que $(Y_t B_t)$ es una martingala local nos dice que $m_t=0$ .

La segunda condición que $(Y_t B_t)$ es una martingala local parece decirnos que $n_t= Y_t ( \frac{-r}{1+\sqrt{v_t}})$ .

Lamentablemente, la expresión para $q_t$ es tan complicado que no puedo concluir de ahí que $(Y_t)$ es estrictamente positivo. ¿Alguna idea?

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Steven Dick Puntos 151

Demuestre que el precio de la expectativa descontada del nuevo valor es el mismo que la solución de la EDP. Una vez hecho esto, los tres activos tienen procesos de precios descontados que son martingalas, por lo que no puede haber arbitraje.

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Matt Puntos 918

Mark Joshi lo ha resuelto prácticamente. Por si fuera poco, se puede ver que desde Feynamn Kac (ver comentarios en http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman -Fórmula_Kac ) se deduce que $$ F(t,S,v) = B_t \mathbf{E}\left[ \frac{ \sqrt{ S_T } }{ B_T } \big \vert S_t = S, v_t = v \right], $$ donde la expectativa se toma con respecto a una medida donde $W$ y $Z$ son movimientos brownianos independientes. Obsérvese cómo esta medida coincide con la medida de riesgo neutral si el proceso $M_t = S_tB_t^{-1}$ es una martingala: la medida neutral al riesgo es la medida para que el subyacente expresado en las unidades de la cuenta de ahorro sea una martingala.

Entonces, debido a la igualdad anterior, si se demuestra que $M_t$ es una martingala, entonces el precio dado como solución a la pde está efectivamente libre de arbitraje. Ahora bien, esto es fácil, ya que $$ dM_t = \sqrt{v_t} M_t dW_t, $$ que es una martingala en el Modelo Heston, por la condición de Novikov ( http://en.wikipedia.org/wiki/Novikov 's_condición): $$ \mathbf{E} \left[ e^{ \int_0^T v_r dr} \right] < \infty. $$

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