Fórmula de contribución al riesgo marginal

Question

Estoy tratando de entender y aplicar el enfoque estándar de la "contribución marginal al riesgo" para el riesgo de la cartera y espero conciliar las fórmulas proporcionadas para su cálculo en diferentes fuentes. En concreto, estoy tratando de entender la diferencia de estos dos documentos:

• Página 4 de este documento de Roncalli ( http://thierry-roncalli.com/download/erc.pdf )
• Las páginas 2-3 de este documento de Kazemi ( http://people.umass.edu/kazemi/An%20Introduction%20to%20Risk%20Parity.pdf )

Lo que realmente me gustaría que me ayudaran a entender es:

1) en la página 2 del PDF de Kazemi, donde se define MC1, ¿cómo se toma esta derivada parcial del vol de la cartera con respecto a w1? (cómo desaparece root cuadrada del vol de la cartera y cómo aparece el vol de la cartera en el denominador)

2) ¿Cómo se obtiene la formulación alternativa de MC en términos de la covarianza entre el activo y la cartera (página 3 de Kazemi - "beta")? idealmente, buscando una guía paso a paso que ilumine cómo se puede pensar en MC de esta manera

Answer 1

En cuanto a su primera pregunta: la derivada no desaparece: $\sigma(R_p)$ contiene root cuadrada. Para ser más precisos, establezca $$ \sigma(R_p) = \sqrt{w_1^2\cdot\sigma(R_1)^2 + w_2^2\cdot\sigma(R_2)^2 + 2w_1w_2\text{Cov}(R_1, R_2)}. $$ Entonces conseguimos usar la regla de la cadena: \begin{align} \frac{\partial\sigma(R_p)}{\partial w_1} &= \frac 12 \cdot \biggl(\sqrt{w_1^2\cdot\sigma(R_1)^2 + w_2^2\cdot\sigma(R_2)^2 + 2w_1w_2\text{Cov}(R_1, R_2)}\biggr)^{-1} \cdot\Bigl(2w_1\cdot\sigma(R_1)^2 + 2w_2\text{Cov}(R_1, R_2)\Bigr) = \\ &= \frac{1}{\sigma(R_p)} \cdot\Bigl(w_1\cdot\sigma(R_1)^2 + w_2\text{Cov}(R_1, R_2)\Bigr). \end{align} Como ves, root cuadrada sigue ahí, sólo que está escondida en $\sigma(R_p)$ . $MC_1$ se puede obtener a partir de esto simplemente multiplicando la derivada por $w_1$ .

Con respecto a su segunda pregunta: observe dos cosas. La primera, $$ R_p = \sum_{j =1}^N w_j R_j $$ y en segundo lugar la función de covarianza es bilineal. Esto implica que $$ \text{Cov}(R_i, R_p) = \text{Cov}\Bigl(R_i, \sum_{j =1}^N w_j R_j\Bigr) = \sum_{j = 1}^N w_j \text{Cov}(R_i, R_j). $$ A partir de esto se puede derivar fácilmente la representación alternativa: \begin{align} MC_1 &= w_1 \cdot \frac{\sum_{j = 1}^N w_j \text{Cov}(R_1, R_j)}{\sigma(R_p)} = w_1\sigma(R_p) \cdot \frac{\sum_{j = 1}^N w_j \text{Cov}(R_1, R_j)}{\sigma(R_p)^2} \\ &= w_1\sigma(R_p) \cdot \frac{\text{Cov}(R_1, R_p)}{\sigma(R_p)^2} = w_1\sigma(R_p) \cdot \beta_1. \end{align} Espero que esto ayude un poco.