La convexidad de Walrasian Demanda

Question

Un seguimiento a mi pregunta anterior:

Dado $u(x) = (x_1-b_1)^\alpha (x_2-b_2)^\beta(x_3-b_3)^\gamma$

y acabar con el de una maximización de que

$$x(p,w) = (b_1, b_2, b_3) + (w - b \cdot p))\left(\frac{\alpha}{p_1},\frac{\beta}{p_2},\frac{\gamma}{p_3}\right)$$

¿Cómo puedo demostrar que $x(p, w)$ es convexo? Yo ya demostró que es homogénea de grado cero y satisface Walras' de la Ley. El libro de Mas-Colell dice que la solución es obvia, pero no he llegado a ninguna parte con él. Mi configuración para mostrar la convexidad es que quiero mostrar:

$$x(tp + (1-t)p', tw + (1-t)w') < tx(p,w) + (1-t)x(p',w')$$

Pero no estoy encontrando todas formas para simplificar esta expresión para demostrar que es cierto. Se agradece cualquier ayuda, ya que me siento como que me falta algo muy obvio.

Answer 1

No estoy seguro de si el que pide la pregunta acerca de la función convexa, o simplemente de la demanda de correspondencia/función de ser un conjunto convexo. La última es una pregunta muy frecuente y si ese es el caso aquí es una respuesta.

Esta es una respuesta a su pregunta, que puede ser más útil a usted y a los lectores futuros de una específica.

El siguiente teorema sostiene en general:

Teorema: Si las preferencias son convexas, entonces el marshallian demanda x(p,w) es un conjunto convexo para cada p>>0 y $w \ge 0$. Nota: p>>0 significa que a cada elemento de un vector de precios es estrictamente positivo.

Prueba:

El Presupuesto con el que $B(p,w) \equiv \{ x \in \mathbb{R}_+^n:px \le w \} $ es un conjunto convexo.

Si dos puntos $ x, x' \x(p,w )$, entonces x ~ x' (el consumidor debe ser indiferente entre los dos, ambos son parte de x(p,w), es decir, su mejor opción. Si uno de ellos iba a ser mejor que el otro, entonces sólo la mejor sería la parte de x(p,w) como el marshallian la demanda se deriva de la maximización.)

Para todo $\alpha \in [0,1]$ tenemos que $\alpha x + (1-\alpha)x' \B(p,w)$ por la convexidad de B(p,w). Además, $\alpha x + (1-\alpha)x'\succeq x$ por la convexidad de las preferencias. Por lo tanto $\alpha x + (1-\alpha)x'\x(p,w)$ Q. E. D.

Su preferencia relación es convexa, por lo que el teorema se aplica y su conjunto x(p,w) es convexa. Tenga en cuenta que una relación de preferencia es (estrictamente) convexa si y sólo si la función de utilidad es (estrictamente) quasiconcave. Su función de utilidad como lo que puedo ver es cóncava, lo que implica que es quasiconcave, lo que implica convexo preferencias.

Además tenga en cuenta que si las preferencias son estrictamente convexas, entonces x(p,w) es de valor único para cada p>>0 y $w \ge 0$. Por lo tanto, en ese caso x(p,w) sería un conjunto convexo como un punto es un conjunto convexo.