Dado un Ito-proceso $X(t)$, $t\in[0,T]$
$$X(t)=X_{0}+\int_{0}^{t}F(s)ds + \int_{0}^{t}G(s)dW(s)$$
con $F\in \mathbb{L}^{1}(0,T)$ y $G\in\mathbb{L}^{2}(0,T)$. Es ahora a menudo se afirma que esta representación es única (hasta indistinguishability de los procesos $F$ y $G$). Por la linealidad es suficiente para asumir el caso de que $X=0$ y para demostrar que $X_{0}=0$, $F=0$ y $G=0$. Tomando $t=0$, se sigue inmediatamente que $X_{0}=0$. Ahora, yo pensaba que uno podría utilizar simplemente el hecho de que
$$\int_{0}^{t}G(s)dW(s)$$
es una martingala así como el uso de Ito-isometría para probar esto. Si hemos demostrado que $F=0$. Entonces $$ 0 = \mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}G(s)dW(s) \derecho)^{2}\right]=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}G^{2}(s)ds \derecho]$$ por Ito-isometría. Por lo tanto $$\int_{0}^{t}G^{2}(s)ds=0$$, casi con toda seguridad. Puedo ahora ya a la conclusión de que $G=0$ hasta indistinguishability?
Además, ¿cómo puedo demostrar que $F=0$?
