Condiciones suficientes para que no haya arbitraje estático

Question

En Carr y Madan (2005) los autores dan las condiciones suficientes para que un conjunto de precios de compra surjan como integrales de una distribución de probabilidad neutral al riesgo (Ver Breeden y Litzenberger (1978) ), y por lo tanto estar libre de arbitraje estático (a través de la Teorema fundamental de la valoración de activos )

Estas condiciones son:

• Los diferenciales de compra son no negativos
• La propagación de las mariposas no es negativa

En el caso de que tengamos una gama completa de precios de llamadas:

• $C(K)$ es monóticamente decreciente
• $C(K)$ es convexo

O si $C(K)$ es dos veces diferenciable:

• $$C'(K) \leq 0 \tag1$$
• $$C''(K) \geq 0\tag2$$

Carr y Madan no mencionan las siguientes restricciones, aunque pueden estar implícitas (?):

• $$C(K) \geq 0\tag3$$
• $C(0)$ es igual al precio al contado descontado $\tag 4$

Otros autores sí mencionan las limitaciones (1-4) juntas. Por ejemplo Fengler y Hin (2012) llaman a esto la "representación estándar de las restricciones de no arbitraje"

En Reiswich (2010) El autor presenta la siguiente condición:

• $$\frac{\partial P}{\partial K} \geq 0\tag{5a}$$

O bien, a través de Paridad Put-Call :

• $$\frac{\partial C}{\partial K} \geq \frac{C(K) - e^{-r\tau}S}{K}\tag{5b}$$

Reiswich afirma que (5) es más estricto que lo que implica (1-4) (es decir, hay conjuntos de precios de compra que satisfacen (1-4) pero no (5)). ¿Es esto realmente cierto? Si es así, ¿cómo conciliamos esto con la afirmación de suficiencia de Carr y Madan?

Edición: Alternativamente, si (5) debe mantenerse en un entorno sin arbitraje, y si (1-4) son suficientes, entonces ¿cómo derivamos (5) de (1-4)?

Answer 1

Creo que te falta una condición clave en los precios de las llamadas que yo diría que es estándar, a saber, que los precios de las llamadas deben estar limitados por debajo por un valor "intrínseco". En concreto, esperaríamos que $C(K) \ge (S-e^{-rT}K)_+$ y se puede ver fácilmente que esto produce un arbitraje estático si se viola. Esta condición (en una forma ligeramente diferente) puede encontrarse, por ejemplo, en el documento de Davis y Hobson que es muy relevante para esta pregunta.

¿Por qué es suficiente? Supongamos que trabajamos en el caso clásico de activos de riesgo (el documento de Reiswich es en los mercados de divisas, por lo que su ecuación (5b) tiene una tasa de interés que es la tasa extranjera, vamos a tomar esto para ser cero), por lo que de hecho queremos mostrar $$\frac{\partial C}{\partial K} \ge \frac{C(K)-S}{K}. $$ Pero ahora piense en el precio de compra como una función de $K$ sabemos que es una función convexa, que se encuentra por encima de la línea $(S-e^{-rT}K)$ y si tomamos una tangente en $K$ , se trata de una línea con gradiente $\frac{\partial C}{\partial K}$ que pasa por el punto $(K,C(K))$ . En el punto cero, esta línea (por la convexidad de la función de precio de compra) debe estar por debajo de la curva de precio de compra, pero la línea pasa por el $y$ -eje en el punto $C(K)-K \frac{\partial C}{\partial K}$ y este debe ser menor que $S$ . Reordenando se obtiene la desigualdad de Reiswich.