¿Cuál es la relación entre la aversión al riesgo relativo y el precio de mercado del riesgo?

Question

Si suponemos que las preferencias de los inversores en un mercado se agregan para mostrar la siguiente función de utilidad

$$u(W)=\dfrac{1}{1-\gamma}W^{1-\gamma},\quad \gamma>0,\quad \gamma\neq1$$

entonces de $$RRA(W)=-W\dfrac{u''(W)}{u'(W)}$$

$$u'(W)=W^{-\gamma}$$

y

$$u''(W)=-\gamma W^{-\gamma-1}$$

tenemos que

$$RRA(W)=\gamma$$

si el precio de mercado del riesgo se define como

$$\lambda=\dfrac{\mu_m-r_f}{\sigma_m}$$

donde $\mu_m$ es el rendimiento esperado del mercado, $r_f$ es el tipo sin riesgo y $\sigma_m$ es la volatilidad del mercado.

¿Existe alguna relación entre $\gamma$ y $\lambda$ ?

Dado que los inversores deberían exigir una mayor rentabilidad por unidad de riesgo cuanto más aversos al riesgo sean, yo supondría que una mayor $\gamma$ implica una mayor $\lambda$ . Sin embargo, estoy buscando más de un vínculo matemático entre los dos, si es posible.

Además, me doy cuenta de que la respuesta por cuasi en ¿Qué significa la aversión al riesgo relativo? probablemente arroje algo de luz a mi pregunta, pero desgraciadamente no he conseguido acercarme.

Answer 1

En la mayoría de los modelos económicos, el coeficiente de aversión al riesgo está definitivamente relacionado con la prima de las acciones.

Suponiendo que la utilidad sea CRRA (como usted menciona):

\begin{equation} U(C_t) = \frac{C_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} \end{equation}

También se supone que el agente tiene acceso a un reclamo de equidad y libre de riesgo. De modo que su cartera es la siguiente:

$W_{t+1} = [\alpha_t R_{t+1} + (1-\alpha_t)R_f)(W_t - C_t)$

donde $\alpha$ son las ponderaciones que el inversor pone en la renta variable y en el riesgo libre, respectivamente.

Si se hace esta maximización se obtiene la fórmula fundamental de fijación de precios de los activos para el caso de las preferencias CRRA (no voy a repasar los detalles de la maximización):

\begin{equation} 1 = E_t \bigg[ R_{t+1} \beta \bigg(\frac{C_{t+1}}{C_t}\bigg)^{-\gamma} \bigg] \end{equation}

Supongamos ahora que $R_{t+1}$ y $C_{t+1}/C_t$ son conjuntamente logarítmicos normales (esto no es crucial pero me permite obtener expresiones de forma cerrada para la prima de la renta variable).

Entonces puedes tomar los registros de la ecuación anterior para obtener:

\begin{equation} 0 = E_t[r_{t+1} + log(\beta) - \gamma g_{t+1}] + \frac{1}{2}[\sigma_r^2 + \gamma^2 \sigma_g ^2 - 2 \gamma \sigma_{r,g}] \end{equation}

donde $g_{t+1}$ es el crecimiento del consumo en logaritmos.

Si se hace lo mismo con la tasa libre de riesgo se obtiene: \begin{equation} 0 = E_t[r^f_{t+1} + log(\beta) - \gamma g_{t+1}] + \frac{1}{2} \gamma^2 \sigma_g ^2 \end{equation}

Resta ambas ecuaciones para obtener:

\begin{equation} E_t[r_{t+1} - r^f_{t+1}] + \text{jensen terms} = \gamma \sigma_{r,g} \end{equation}

Por tanto, la prima de riesgo es proporcional a $\gamma$ (y, por consiguiente, el ratio de Sharpe).

En la mayoría de los modelos de valoración de activos, la prima de riesgo dependerá de la aversión al riesgo. Diferentes modelos (funciones de utilidad y fricciones) pueden dar lugar a diferentes fórmulas, pero casi siempre hay una $\gamma$ apareciendo en alguna parte.