La wikipedia entrada en el CIR de la Modelo afirma que "este proceso puede ser definido como la suma de los cuadrados de Ornstein–Uhlenbeck" pero no proporciona la derivación o referencia. ¿Se puede hacer eso? Yo sólo podía derivar nivel de equilibrio para números especiales proporcional a los números naturales y no arbitrarias de los números reales.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No creo que la afirmación de referencia es correcta para general $n \in \mathbb{R}$, pero sólo para $n \in \mathbb{N}$.
La intuición detrás de esto es que cada uno de Ornstein-Uhlenbeck (OU) es un proceso que está normalmente distribuida. Por lo tanto la suma de $n$ el cuadrado de la unidad organizativa de los procesos es el chi-cuadrado distribuidos con $$ n grados de libertad. Definir $X$ ser $n$-dimensional vector de valores de OU proceso con
\begin{ecuación} \mathrm{d}X_t^i = \alpha X_t^i \mathrm{d}t + \beta \mathrm{d}W_t^i, \end{ecuación}
donde $W$ es un $$n-dimensional vector de independiente Browniano movimientos. Vamos
\begin{ecuación} Y_t = \sum_{i = 1}^n \left( X_t^i \derecho)^2. \end{ecuación}
Tenga en cuenta que
\begin{eqnarray} \mathrm{d} \left( X_t^i \derecho)^2 & = & 2 X_t^i \mathrm{d}X_t^i + 2 \mathrm{d} \langle X^i \rangle_t\\ & = & \left( 2 \alpha \left( X_t^i \derecho)^2 + \beta^2 \derecho) \mathrm{d}t + 2 \beta X_t^i \mathrm{d}W_t^i \end{eqnarray}
Así
\begin{eqnarray} \mathrm{d}Y_t & = & \mathrm{d} \left( \sum_{i = 1}^n \left( X_t^i \derecho)^2 \derecho)\\ & = & \sum_{i = 1}^n \mathrm{d} \left( X_t^i \derecho)^2\\ & = & \left( 2 \alpha Y_t + n \beta^2 \derecho) \mathrm{d}t + 2 \beta \sum_{i = 1}^n X_t^i \mathrm{d}W_t^i, \end{eqnarray}
donde el segundo paso siguiente de la independencia de la Browniano movimientos. La próxima nota de que el proceso de
\begin{ecuación} Z_t = \int_0^t \sum_{i = 1}^n X_u^i \mathrm{d}W_u^i \end{ecuación}
es una martingala con variación cuadrática
\begin{eqnarray} \langle Z \rangle_t & = & \int_0^t \sum_{i = 1}^n \left( X_u^i \derecho)^2 \mathrm{d}u\\ & = & \int_0^t Y_u \mathrm{d}u. \end{eqnarray}
En consecuencia, por Levy teorema de caracterización, el proceso de
\begin{ecuación} \tilde{W}_t = \int_0^t \frac{1}{\sqrt{Y_u}} \sum_{i = 1}^n X_u^i \mathrm{d}W_u^i \end{ecuación}
es un movimiento Browniano. Así
\begin{eqnarray} \mathrm{d}Y_t & = & \left( 2 \alpha Y_t + n \beta^2 \derecho) \mathrm{d}t + 2 \beta \sqrt{Y_t} \mathrm{d}\tilde{W}_t\\ & = & \kappa \left( \theta - Y_t \derecho) \mathrm{d}t + \xi \sqrt{Y_t} \mathrm{d}W_t, \end{eqnarray}
donde $\kappa = -2 \alpha$, $\theta = -n \beta^2 / 2 \alpha$ y $\xi = 2 \beta$.
Esto se puede generalizar a $n \in \mathbb{R}$ considerando un tiempo de cambio de un cuadrado de Bessel proceso. Una referencia completa el Capítulo 6 en Jeanblanc, Yor y Chesney (2009) "Métodos Matemáticos para los Mercados Financieros", Springer.
