Anidado volatilidad

Question

La introducción VIX opciones hace que el concepto de "la volatilidad de la volatilidad", un verdadero concepto de vida. La idea de "anidada volatilidad" parece interesante, y me pregunto si hay algún académico de tratamiento sobre el tema. Por ejemplo, sabemos que las desviaciones de seguir chi-cuadrado de las distribuciones, pero lo que sucede cuando usted toma la volatilidad n veces?

Para echar un vistazo a estas cosas, he simulado una driftless el movimiento Browniano de la serie de tiempo $x(t+1) = x(t) + N(0,1)$ 5000 días, he calculado sus 10 días de la volatilidad, y los 10 días de la volatilidad de la volatilidad, y así sucesivamente. El proceso se repite 8 veces. Un par de interesantes observaciones fueron hechas.

1. El valor promedio de la serie de tiempo de disminución de aproximadamente un 65% - 73% cada vez que se tome la volatilidad. La magnitud de esta disminución también disminuye con el tiempo.
2. La correlación entre el tiempo de la serie y su volatilidad varía de 0,4 a 0,6, y esta correlación aumenta cada vez que se tome la volatilidad. Esto es muy extraño como CBOE afirma que, históricamente, el VIX tiene poca relación con su índice de volatilidad de la VVIX.

Sería bueno encontrar algunas explicaciones teóricas de estas observaciones. Tengo la esperanza de que hay algo ahí fuera algo similar a la alimentación de la serie de expansiones, donde podemos descomponer un objeto en el infinito número de la constante disminución de los objetos más pequeños.

Answer 1

Es una estilizada característica de que la correlación entre el SPX y el VIX es negativo (alrededor de -0.7) así pues, tenemos un proceso interesante aquí.

Nada tan simple como driftless el movimiento Browniano. La volatilidad del proceso de salta y luego se desvanece al cabo de la cual a menudo es modelado como Hawkes proceso (ver, por ejemplo, aquí). Por lo tanto las conclusiones de la simple modelo Gaussiano (con Chi-quared volatiltiy) para el mundo real son difíciles.