Conversar en supermodularidad y single-crossing

Question

Supongamos que denoto $$f(x,t)=g(x,t)+h(x)$$ donde $X\in \mathbb{R}$, $t\in [0,1]$ y $h(x)$ es cualquier función.

Quiero demostrar que si la propiedad de cruce único se cumple en $f(x,t)$, entonces $g(x,t)$ debe ser supermodular sobre $X\times T$.

Sé que en general supermodular significa cruce único pero la conversa no es cierta, pero mi suposición de agregar una función aleatoria $h(x)$ debería garantizar la propiedad de cruce único para mostrar supermodalidad.

Answer 1

No estoy seguro de que haya suficientes suposiciones aquí para avanzar, en particular creo que necesitarías algunas condiciones sobre tu función $h$, al menos. Es bastante fácil mostrar que $g(\cdot, \cdot)$ tendrá diferencias crecientes, lo cual implica la propiedad de monotonía en un cruce para $g$ (esto se puede ver rápidamente dejando que $h$ sea identicamente cero). Pero no veo cómo esto es suficiente, ya que el cruce único no implica supermodularidad. ¡Quizás me estoy perdiendo algo, sin embargo!