Covarianza del movimiento browniano y su media temporal

Question

Se trata de una pregunta relativa a la correlación de un proceso de activos logarítmicos (siguiendo a BM) y su media temporal, para ponerlo en forma, si

$$X(t)=\mu t+\sigma W(t)$$ entonces $$ \bar{X}(t):=\frac{1}{t}\int_0^tX(\tau)d\tau\,{\buildrel d \over =}\,\mu\frac{t}{2}+\frac{\sigma}{\sqrt3}W(t) $$ donde vemos que la media y la varianza son $\mu t/2$ y $\sigma^2t/3$ . Ahora tengo un documento aquí ( Enfoque integral de la trayectoria de las opciones asiáticas en la modalidad Black-Scholes ) que dice que el coeficiente de correlación de $X$ y $\bar{X}$ es igual a $\sqrt3/2$ ...

Ahora bien, si lo hago desde la definición $$ \rho_{X(t),\bar{X}(t)}=\frac{Cov(\sigma W(t),\frac{\sigma}{\sqrt3}W(t))}{\sigma\sqrt t\frac{\sigma\sqrt t}{\sqrt3}}=\frac{\frac{\sigma^2}{\sqrt3} Var(W(t))}{\frac{\sigma^2 t}{\sqrt3}}=1$$

Así que supongo que me he perdido algo en alguna parte, si alguien puede darme sus 2 céntimos... Gracias

Answer 1

Quiere trabajar directamente con $\overline{X}$ y no otra v.r. con la misma distribución, ya que la equivalencia en la distribución no implica que la correlación sea la misma. Para facilitar la notación, supondré que $\mu = 0$ y $\sigma = 1$ . Afirmo que $$ \text{cov}\left(\overline{X},X \right) = \frac{1}{t} \int_0^t s \ ds. $$

Tenga en cuenta que esto es lo que se obtiene si se calcula $\frac{1}{t} \int_0^t \text{cov}(W_s, W_t) \ ds$ . Por ahora, dejaré que justifiques este paso, pero el enfoque que debes tomar es 1) discretizar la integral de Riemann, y mostrar que las cosas funcionan ahí, y 2) usar el Teorema de Convergencia Dominada para pasar al límite.

En cualquier caso, lo que obtenemos es $$ \text{cov}\left(\overline{X},W_t \right) = \frac{1}{t} \cdot \frac{t^2}{2} = \frac{t}{2}. $$

Utilizando su fórmula para la varianza de $\overline{X}$ Esto lleva a $$ \text{corr}(\overline{X},W_t) = \frac{\frac{t}{2}}{\sqrt{t}\cdot\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$