Hagamos el siguiente salto de difusión Proceso Estocástico: $$S_t = S_0 e^{ \sigma W_t + (v- \frac { \sigma ^2}{2})t} \prod_ {i=1}^{N_t}(1+J_i)$$
donde $W_t$ es el Movimiento Browniano, por lo tanto $G_t \equiv e^{ \sigma W_t + (v- \frac { \sigma ^2}{2})t}$ es el Movimiento Browniano Geométrico, $N_t$ es el Proceso de Poisson y $R_t \equiv \prod_ {i=1}^{N_t}(1+J_i)$ es el Proceso Multiplicativo del compuesto de Poisson.
Supongamos que existe una probabilidad de Martingala $ \mathbb {Q}$ y que bajo $ \mathbb {Q}$ la hipótesis del Teorema de Girsanov es válida. Además, supongamos que bajo $ \mathbb {Q}$ $N_t$ tiene una tasa de Poisson $ \widehat { \lambda }$ .
En este contexto tengo que ponerle precio a la opción de venta europea de S_t, es decir
$$P=e^{-r(T-t)} \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_T)_+|S_t)$$
He pensado así, pero no sé si es correcto. \begin {eqnarray} \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_T)|S_t)_+& = & \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_0 e^{ \sigma W_T + (v- \frac { \sigma ^2}{2})T} \prod_ {i=1}^{N_T}(1+J_i))_+|S_t) \\ & = & \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_t e^{ \sigma (W_T-W_t) + (v- \frac { \sigma ^2}{2})(T-t)} \prod_ {i={N_{t}+1}}^{N_T}(1+J_i))_+) \\ & = & \mathbb {E}_ \mathbb {Q}( \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_t e^{ \sigma (W_T-W_t) + (v- \frac { \sigma ^2}{2})(T-t)} \prod_ {i={N_{t}+1}}^{N_T}(1+J_i))_+|N_T-N_t=n)) \\ & = & \mathbb {P}_ \mathbb {Q}(N_T-N_t=n))( \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_t e^{ \sigma (W_T-W_t) + (v- \frac { \sigma ^2}{2})(T-t)} \prod_ {i={1}}^{n}(1+J_i)_+) \end {eqnarray}
Así que finalmente, $$ \mathbb {P}_ \mathbb {Q}(N_T-N_t=n)=e^{- \widehat { \lambda }(t-t)} \frac {( \widehat { \lambda } (T-t))^n}{n!}$$
Y $ \mathbb {E}_ \mathbb {Q}((k-S_t e^{ \sigma (W_T-W_t) + (v- \frac { \sigma ^2}{2})(T-t)} \prod_ {i={1}}^{n}(1+J_i)_+)$ puede ser calculado usando la fórmula habitual de Black-Sholes.
¿Esto está bien o es de otra manera? ¡Gracias! :)
