¿La función de demanda marshalliana incluye siempre los precios y la renta?

Question

Tengo la siguiente función de utilidad:

$$U(x_i)=x_1x_2+x_3$$

con limitación presupuestaria:

$$p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3\leq I$$

Utilizo el método de Kuhn-Tucker para encontrar las opciones óptimas del problema de maximización de la utilidad. Mis ecuaciones son:

$$x_2-\lambda p_1+M_1=0$$ $$x_1-\lambda p_2+M_2=0$$

$$1-\lambda p_3+M_3=0$$

$$p_1M_1=0$$ $$p_2M_2=0$$ $$p_3M_3=0$$ $$p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3-I=0$$

$$(M_1,M_2,M_3,\lambda \geq 0)$$

Cuando pongo $M_1=M_2=M_3=0$ (caso lagrangiano), obtuve las soluciones óptimas para $x_1,x_2$ como:

$$x_1=\frac{p2}{p3}$$ y $$x_2=\frac{p_1}{p_3}$$

¿Cómo podría construir una función de demanda marshalliana en este caso? Las soluciones óptimas no tienen la variable I (ingresos).

¿Es correcto definir una función de demanda marshalliana para el bien $x_1$ como: $x_1(p,I)=\frac{p_2}{p_3}$ ?

La función de demanda marshalliana (llamada así por Alfred Marshall) especifica lo que el consumidor compraría en cada precio e ingreso o riqueza situación, suponiendo que resuelve perfectamente el problema de maximización de la utilidad problema

Answer 1

Se trata de funciones de demanda propiamente marshallianas, aunque la Renta no aparezca en ellas. Esto se debe a la forma específica de la función de utilidad (y a la solución candidata de que todos los bienes se compran en cantidades estrictamente positivas). Resulta que no hay efecto de la renta para los bienes $x_1$ y $x_2$ - La demanda óptima no compensada no depende en absoluto del nivel de renta, sino sólo de los precios relativos.

La razón por la que la demanda marshalliana se define así, es para dejar claro que no incluye ningún tipo de "compensación de ingresos" como la demanda hicksiana. Pero esto no excluye un caso como el suyo, que de nuevo, depende de la forma de la función de utilidad.

Pensando en términos económicos, ¿qué bienes se le ocurren cuya demanda puede no depender de forma realista del nivel de renta, sino sólo de los precios relativos? Responder a esta pregunta sería útil para trasladar la expresión matemática de la función de utilidad a los fenómenos económicos del mundo real.

Además, hay que tener en cuenta que la función de utilidad específica apunta a "cuasi-lineal" marcos, donde el bien que entra aditivamente, funciona esencialmente como la propia Renta.