¿Es cierto que $\frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L}$ ?

Question

Los costes marginales MC se definen como $MC=\frac{dC}{dq}$ . Teniendo en cuenta que $C=wL+rK$ ,

$$MC=\frac{dC}{dq}=w\frac{dL}{dq}+r\frac{dK}{dq}$$

Recordemos que el producto marginal del trabajo $MP_{L}=\frac{\partial q}{\partial L}$ y el producto marginal del capital $MP_{K}=\frac{\partial q}{\partial K}$ .

Pregunta: ¿es correcto lo siguiente?

$$\frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L},\;\frac{dK}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial K}$$

lo que implica

$$MC=w\frac{1}{MP_{L}}+r\frac{1}{MP_{K}}$$

Si no, no es necesario seguir leyendo.

Si la respuesta es afirmativa, considere la maximización del beneficio de una empresa.

$$\max_{L,K}pq\left(L,K\right)-wL-rK$$

FOC:

$$\begin{cases}pMP_{L}=w\\pMP_{K}=r\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}MP_{L}=\frac{w}{p}\\MP_{K}=\frac{r}{p}\end{cases}$$

Por lo tanto,

$$MC=w\frac{1}{MP_{L}}+r\frac{1}{MP_{K}}=w\frac{1}{w/p}+r\frac{1}{r/p}=p+p=2p$$

El resultado es erróneo, sin duda. Me pregunto, ¿en qué paso de la derivación me he equivocado?

Answer 1

Pregunta: ¿es correcto lo siguiente?

$$\frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L},\;\frac{dK}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial K}$$

En general, no. Desde $q= f(L,K)$ es un multivariable función monovaluada, entonces por el teorema de la función implícita aplicado a la función implícita ecuación $H = f(L,K)-q=0$ Lo único que podemos decir es que

$$\frac {\partial L}{\partial q} = -\frac {\partial H/\partial q}{\partial H /\partial L} = -\frac {-1}{MP_L} = \frac {1}{\partial q /\partial L}$$

Esencialmente, aquí tratamos $q$ como una función univariante (al tomar derivadas parciales, mantenemos fijas todas las demás variables).

Pero los derivados totales son otra cosa.
Para $q = f(L,K)$ tenemos la relación implícita $L = L(q,K)$ y así, tomando el diferencial total y dividiendo todo por $dq$ obtenemos

$$\frac {d L(q,K)}{d q} = \frac {\partial L(q,K)}{\partial q} + \frac {\partial L(q,K)}{\partial K}\frac {dK}{dq}$$

Pero $\frac {\partial L}{\partial K} \neq 0$ porque implícitamente mantenemos $q$ constante para calcular esta derivada parcial, por lo que al cambiar $K$ también tenemos que cambiar $L$ . La otra posibilidad sería que $dK/dq$ es cero. Si no tenemos tal función de producción (o no estamos en un rango en el que tal cosa se cumpla), obtenemos

$$\frac {dL}{dq} \neq \frac {\partial L}{\partial q} = \frac {1}{\partial q/\partial L}$$

Answer 2

Es válida pero sólo a corto plazo con el supuesto de que el capital es fijo.

Suponiendo que la producción depende del trabajo y del capital, se puede escribir

$$q=q(L,K)$$

Ahora tomando la derivada total $$dq=\frac{\partial q}{\partial L}dL+\frac{\partial q}{\partial K}dK$$

En el corto plazo el capital es fijo como $dK=0$ $$\longrightarrow\quad dq=\frac{\partial q}{\partial L}dL\longrightarrow \frac{dL}{dq}=1/\frac{\partial q}{\partial L}$$