La Heston Solución Para La Opción Europea - Jim Gatheral

Question

Tengo esta ecuación (Eq. (2.4) "La Volatilidad de la Superficie de Una Guía Profesional", por Jim Gatheral (Ed. 2006)): $$-\frac{\partial C(v, x, \tau)}{\parcial \tau}+\frac{1}{2}v \frac{\partial^2 C(v,x,\tau)}{\partial x^2}-\frac{1}{2}v\frac{\partial C(v,x,\tau)}{\partial x}+\frac{1}{2}v\eta^2\frac{\partial^2 C(v,x,\tau)}{\partial v^2}+\rho\eta v\frac{\partial^2 C(v,x,\tau)}{\partial v \partial x}-\lambda(v-\bar{v})\frac{\partial C(v,x,\tau)}{\partial v}=0$$ Donde $x:=ln{\frac{F_{t,T}}{k}}$ ($F_{t,T}$ es el precio a plazo) y $\tau=T-t$. Suponiendo que:$$C(x,v,\tau)=K\{e^xP_1(x,v,\tau)-P_0(x,v,\tau)\}$$ Donde la ecuación anterior correspont a 2.5 Eq de "La Volatilidad de la Superficie de Una Guía Profesional", por Jim Gatheral (Ed. 2006). Por substituing la última ecuación en la anterior, J. Gatheral obtiene: $$-\frac{\partial P_j(v, x, \tau)}{\parcial \tau}+\frac{1}{2}v \frac{\partial^2 P_j(v,x,\tau)}{\partial x^2}-(\frac{1}{2}-j)v\frac{\partial P_j(v,x,\tau)}{\partial x}+\frac{1}{2}v\eta^2\frac{\partial^2 P_j(v,x,\tau)}{\partial v^2}+\rho\eta v\frac{\partial^2 P_j(v,x,\tau)}{\partial v \partial x}+(a-b_jv)\frac{\partial P_j(v,x,\tau)}{\partial v}=0$$ Por $j=0,1$, donde $a=\lambda \bar{v}, b_j= \lambda - j\rho \eta$. Este es Eq 2.6 del referido libro. Ahora, mi problema es el siguiente. Cuando me sustituir 2.5 2.4, obtengo lo siguiente: $$k\{-\frac{ \partial P_0(v,x,\tau)}{\parcial \tau}+\frac{1}{2}v\frac{\partial ^2 P_0(v,x,\tau)}{\partial x^2}-\frac{1}{2}v\frac{\partial P_0(v,x,\tau)}{\partial x}+\frac{1}{2}v\eta^2\frac{\partial^2 P_0(v,x,\tau)}{\partial v^2}+\rho\eta v\frac{\partial^2 P_0(v,x,\tau)}{\partial v \partial x}-\lambda(v-\bar{v})\frac{\partial P_0(v,x,\tau)}{\partial v}= ke^x \{ -\frac{\partial P_1(x,v,\tau)}{\parcial \tau}-\frac{\partial x}{\parcial \tau}P_1(x,v,\tau)+\frac{1}{2}v\frac{P_1(v,x,\tau)}{\partial x^2}+\frac{1}{2}v\frac{\partial P_1(v,x,\tau)}{\partial x}+\frac{1}{2}v\eta^2\frac{\partial^2 P_1(v,x,\tau)}{\partial v^2}+\rho\eta v\frac{\partial^2 P_1(v,x,\tau)}{\partial v \partial x}+(a-b_jv)\frac{\partial P_1(v,x,\tau)}{\partial v}\}$$. Primera pregunta:

Como se puede ver he obtenido una ecuación en $P_0({x,v,\tau})$ y $P_1(x,v, \tau)$. J. Gatheral obtiene dos ecuaciones. Con el fin de obtener el mismo resultado como él, que me han puesto $k=1$ y $F_{t,T}=0$ para obtener un PDE en $P_0(x,v,\tau)$ y, a continuación, he puesto $k=0$ y $F_{t,T}=1$ para obtener un PDE en $P_1(x,v,\tau)$. Es correcto? ¿Puedo hacer eso? Si sí, ¿por qué?

Segunda pregunta:

Cuando me tome la derivada de la no descontados llamada de precio con respecto a $\tau$ de la ecuación 2.5, obtengo el siguiente: $$\frac{\partial C(x,v,\tau )}{\parcial \tau} = K\{e^x\frac{\partial P_1(x,v,\tau )}{\parcial \tau} + e^x\frac{\partial x}{\parcial \tau} P_1 (x,v,\tau)-\frac{\partial P_0(x,v,\tau )}{\parcial \tau}\}=K\{e^x\frac{\partial P_1(x,v,\tau )}{\parcial \tau} + e^xr P_1 (x,v,\tau)-\frac{\partial P_0(x,v,\tau )}{\parcial \tau}\}$$ Que en mi opinión es correcta, dado que $x$ dependen de $\tau$ gracias $F_{t,T}$. Sin embargo, no soy capaz de obtener la ecuación 2.6, porque el término $e^xr P_1 (x,v,\tau)$ es que no hay (no veo otro término que me permite hacer una simplificación). Lo que me estoy perdiendo aquí?

Gracias chicos!!

Answer 1

No creo que la Ecuación $(2.5)$ puede ser directamente sustituido en $(2.4)$ para obtener las ecuaciones de la forma dada por $(2.6)$ por tanto $P_0$ y $P_1$. De hecho, dado que la Ecuación $(2.4)$ está satisfecho por cualquier Europeo de precio de la opción, de dos diferentes opciones de precios se sustituyen en la Ecuación $(2.4)$ para obtener las respectivas ecuaciones.

Específicamente, tenga en cuenta que \begin{align*} P_0 = \mathbb{E}(1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_t), \end{align*} y \begin{align*} P_1 = \mathbb{E}^S(1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_t), \end{align*} donde $\mathbb{E}$ es la expectativa de operador, de conformidad con el neutrales al riesgo probabilidad de medir, mientras que $\mathbb{E}^S$ es la expectativa de operador, de conformidad con la probabilidad de medir con el precio de las acciones en proceso $S$ como el numeraire.

Como $P_0$ es el no descontados del precio de una opción digital, bajo el determinismo de la fijación de tipos de interés, podemos sustituir $P_0$ en $(2.4)$, para obtener la ecuación de $P_0$. Como por $P_1$, consideramos que la opción con la Rentabilidad, en la madurez $T$, de la forma \begin{align*} S_T 1_{\{S_T >K\}}. \end{align*} El no descontados valor está dado por \begin{align*} \frac{B_t}{P(t, T)}\mathbb{E}\left(\frac{S_T 1_{\{S_T >K\}}}{B_T}\mid \mathcal{F}_t\derecho) &= \frac{S_t}{P(t, T)}\mathbb{E}^S(1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_t)\\ &=F_{t, T}\mathbb{E}^S(1_{\{S_T >K\}}\mid \mathcal{F}_t)\\ &=Ke^xP_1,\etiqueta{1} \end{align*} donde $B_t=e^{\int_0^t r_s ds}$ es el mercado de dinero de la cuenta de valor en el tiempo $t$, $P(t, T)$ es el precio de un bono cupón cero con vencimiento $T$ y unidad de valor nominal, y $F_{t, T}=\frac{S_t}{P(t, T)}$ es el precio a futuro. Ahora, sustituimos $(1)$ en la Ecuación $(2.4)$ para obtener la ecuación de $P_1$.