Considere una acción cuyo precio $S$ satisface $$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t$$ para las constantes $\mu,\sigma$ y donde $W$ es un $\mathbb{P}$ -Movimiento browniano. Supongamos además que la acción paga dividendos continuamente a una tasa de $d$ proporcional al precio actual de las acciones.
Dejemos que $p_t$ denotan el precio en el momento $t$ de un derivado de tipo europeo que tiene un pago de $f(S_T)$ en el momento $T$ . Para determinar una fórmula de $p_t$ esencialmente llevamos a cabo los siguientes pasos:
- Utilice el teorema de Girsanov para determinar la medida de probabilidad neutral al riesgo $\mathbb{Q}$ tal que $\widetilde{W}_t=\left(\frac{\mu+d-r}{\sigma}\right)t+W_t$ es un $\mathbb{Q}$ -Movimiento browniano.
- Definir $P_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f(S_T)\mid\mathcal{F}_t]$ . Demuestre que ambos $\hat{S}_t=e^{-(r-d)t}S_t$ y $\hat{P_t}=e^{-rt}P_t$ son $\mathbb{Q}$ -martingales.
- Utilice el Teorema de la Representación de Martingale para concluir la existencia de un proceso predecible $A$ tal que $\hat{P}_t=\hat{P}_0+\int_0^tA_sd\hat{S}_s$ en $\mathbb{Q}$ .
- Construir la cartera $(\hat{P}_t-A_t\hat{S}_t,A_te^{dt})$ que consiste en $\hat{P}_t-A_t\hat{S}_t$ unidades de efectivo y $A_te^{dt}$ unidades de la acción en el momento $t$ . El valor de esta cartera es $P_t$ .
- Desde $P_T=p_T$ concluimos de la Ley del Precio Único que $P_t=p_t$ para todos $0\leq t\leq T$ . En otras palabras, $p_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f(S_T)\mid\mathcal{F}_t]$ .
Después de seguir los pasos anteriores me pregunto por qué la cartera tiene que ser $(\hat{P}_t-A_t\hat{S}_t,A_te^{dt})$ . Parece que podríamos elegir simplemente $(\hat{P}_t,0)$ como nuestra cartera y ésta seguiría teniendo un valor de $P_t$ en el momento $t$ .
