Estoy leyendo sobre las creencias de orden superior. Antes de entrar en las definiciones formales, definiré algunos términos comunes que necesitaré para las definiciones formales.
Si $X$ y $Y$ son dos espacios, denotan el conjunto de probabilidades sobre $X$ como $\Delta(X)$ y para $\delta\in \Delta(X\times Y)$ definen la medida de probabilidad marginal de $\delta$ en $X$ $$ marg(\delta;X)(E)=\delta(E\times Y) $$ para todo subconjunto medible de $E$ de $X$ .
La definición formal de orden superior es la siguiente:
Dejemos que $N=\{1,2,\dots, n\}$ sea el conjunto de jugadores. Para cada $i\in N$ , $A_i\neq\emptyset$ es el conjunto finito de acciones disponibles para el jugador $i$ . Denotemos el conjunto de estrategias mixtas para el jugador $i$ como $\Sigma_i=\Delta(A_i)$ . Como es habitual, defina $\Sigma_{-i}=\times_{j\neq i} \Sigma_i$ y $\Sigma=\times_i \Sigma_i$ . Definir el conjunto de creencias de primer orden $B_i^1=\Delta(\Sigma_{-i})$ y $B_{-i}^1=\times_{j\neq i} B_j^1$ y $B^1=\times_i B_i^1$ . Definir inductivamente, para cada $k\geq 1$ $$ B_i^{k+1}=\Delta(\Sigma_{-i}\times B_{-i}^1\times \dots B_{i}^k)\\ B_{-i}^{k+1}=\times_{j\neq i} B_j^{k+1}\quad B^{k+1}=\times_i B_i^k $$ Finalmente, $B_i=\times_{k=1}^\infty B_i^k $
La creencia coherente se describe de la siguiente manera:
$b_i=(b_i^1,b_i^2,\dots)\in\times_i B_i^k$ es coherente si para cada $k\geq 1$ $marg(b_i^{k+1},\Sigma_{-i}\times B_{-i}^1\times\dots\times B_{-i}^k)=b_i^k$ donde $marg$ es la medida de probabilidad marginal.
Ahora bien, según esta definición para $E\subset \Sigma_{-i}$ tenemos $marg(b_i^2;\Sigma_{-i})(E)=b_i^1(E)$ .
Intento comprender esta definición. Así que traté de considerar un juego en el que hay dos jugadores $i$ y $j$ y dos acciones para cada jugador. Así que
$$ \Sigma_i=\{(p,1-p):p\in[0,1]\}\quad \Sigma_j=\{(q,1-q):q\in[0,1]\} $$ y $b_i^1\in\Delta(\Sigma_j)$ y $b_i^2\in\Delta(\Sigma_j\times B_j^1)$ . Así que $b_i^1$ es una medida de probabilidad sobre $q$ y $b_i^2$ es una medida de probabilidad conjunta sobre $q$ y las creencias de primer orden de $j$ . Supongamos que $E$ es la colección de $(q,1-q)$ tal que $q\leq 0.5$ que es un subconjunto de $\Sigma_j$ . No pude convencerme de por qué $marg(b_i^2;\Sigma_j)=b_i^1(E)$ . Disculpas por lo extenso de la pregunta y cualquier ayuda es muy apreciada.