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Creencias de orden superior y coherencia en la teoría de los juegos

Estoy leyendo sobre las creencias de orden superior. Antes de entrar en las definiciones formales, definiré algunos términos comunes que necesitaré para las definiciones formales.

Si $X$ y $Y$ son dos espacios, denotan el conjunto de probabilidades sobre $X$ como $\Delta(X)$ y para $\delta\in \Delta(X\times Y)$ definen la medida de probabilidad marginal de $\delta$ en $X$ $$ marg(\delta;X)(E)=\delta(E\times Y) $$ para todo subconjunto medible de $E$ de $X$ .

La definición formal de orden superior es la siguiente:

Dejemos que $N=\{1,2,\dots, n\}$ sea el conjunto de jugadores. Para cada $i\in N$ , $A_i\neq\emptyset$ es el conjunto finito de acciones disponibles para el jugador $i$ . Denotemos el conjunto de estrategias mixtas para el jugador $i$ como $\Sigma_i=\Delta(A_i)$ . Como es habitual, defina $\Sigma_{-i}=\times_{j\neq i} \Sigma_i$ y $\Sigma=\times_i \Sigma_i$ . Definir el conjunto de creencias de primer orden $B_i^1=\Delta(\Sigma_{-i})$ y $B_{-i}^1=\times_{j\neq i} B_j^1$ y $B^1=\times_i B_i^1$ . Definir inductivamente, para cada $k\geq 1$ $$ B_i^{k+1}=\Delta(\Sigma_{-i}\times B_{-i}^1\times \dots B_{i}^k)\\ B_{-i}^{k+1}=\times_{j\neq i} B_j^{k+1}\quad B^{k+1}=\times_i B_i^k $$ Finalmente, $B_i=\times_{k=1}^\infty B_i^k $

La creencia coherente se describe de la siguiente manera:

$b_i=(b_i^1,b_i^2,\dots)\in\times_i B_i^k$ es coherente si para cada $k\geq 1$ $marg(b_i^{k+1},\Sigma_{-i}\times B_{-i}^1\times\dots\times B_{-i}^k)=b_i^k$ donde $marg$ es la medida de probabilidad marginal.

Ahora bien, según esta definición para $E\subset \Sigma_{-i}$ tenemos $marg(b_i^2;\Sigma_{-i})(E)=b_i^1(E)$ .

Intento comprender esta definición. Así que traté de considerar un juego en el que hay dos jugadores $i$ y $j$ y dos acciones para cada jugador. Así que

$$ \Sigma_i=\{(p,1-p):p\in[0,1]\}\quad \Sigma_j=\{(q,1-q):q\in[0,1]\} $$ y $b_i^1\in\Delta(\Sigma_j)$ y $b_i^2\in\Delta(\Sigma_j\times B_j^1)$ . Así que $b_i^1$ es una medida de probabilidad sobre $q$ y $b_i^2$ es una medida de probabilidad conjunta sobre $q$ y las creencias de primer orden de $j$ . Supongamos que $E$ es la colección de $(q,1-q)$ tal que $q\leq 0.5$ que es un subconjunto de $\Sigma_j$ . No pude convencerme de por qué $marg(b_i^2;\Sigma_j)=b_i^1(E)$ . Disculpas por lo extenso de la pregunta y cualquier ayuda es muy apreciada.

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henrikpp Puntos 340

La forma en que se especifican las jerarquías de creencias, las creencias sobre los mismos eventos se codifican en diferentes lugares.

La idea básica es bastante sencilla. Tienes dos jugadores, Ann y Bob, digamos. Las creencias de primer orden de Ana especifican la probabilidad de cada elección de estrategia de Bob. Las creencias de segundo orden de Ana especifican la probabilidad de cada combinación de una elección de estrategia de Bob y una creencia de Bob sobre las elecciones de estrategia de Ana. Las creencias de segundo orden son probabilidades conjuntas.

Ahora supongamos que las creencias de primer orden de Ana especifican que ella cree que Bob juega las estrategias C y D con probabilidad $1/2$ cada uno.

Supongamos también que Ann cree con probabilidad $1/4$ que "Bob juega a C y cree con probabilidad 1 que Ann juega a D con seguridad" y cree con probabilidad $3/4$ que "Bob juega D y cree que Ann juega D con seguridad".

Si se le pregunta a alguien que sólo conoce las creencias de primer orden de Ann qué probabilidad cree ésta de que Bob juegue a C, esa persona responderá con $1/2$ . Si se le pregunta a alguien que sólo conoce las creencias de segundo orden de Ann qué probabilidad cree ésta de que Bob juegue a C, esa persona responderá con $1/4$ . De hecho, eso es lo que dice el marginal de su creencia de segundo orden en el espacio de las estrategias.

Esto es absurdo y no tiene sentido. Las creencias de Ann sobre la probabilidad de que Bob juegue a C deberían ser las mismas según sus creencias de primer orden que según sus creencias de segundo orden. Ahora bien, la coherencia es exactamente la condición que garantiza eso. Si alguna creencia sobre un evento E se especifica en más de un nivel de la jerarquía de creencias, cada jerarquía debe especificar que la misma creencia sobre el evento E.

En cuanto al formalismo: El marginal de una medida de probabilidad es de nuevo una medida de probabilidad, por lo que $marg(b_i^2;\Sigma_j)=b_i^1(E)$ es comparar manzanas y naranjas; a la izquierda hay una medida de probabilidad, a la derecha un número. Lo que quieres es $marg(b_i^2;\Sigma_j)(E)=b_i^1(E)$ como prescribe la coherencia y, de hecho, el sentido común.

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:Según su explicación $B_i^1=\Sigma_{-i}$ pero la definición que he utilizado es $B_i^1=\Delta(\Sigma_{-i})$ .

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"Las creencias de primer orden de Ann especifican la probabilidad que ella piensa que tiene cada elección de estrategia de Bob" Estas probabilidades son probabilidades, por lo que su creencia de primer orden es una medida de probabilidad sobre las estrategias de Bob, y el espacio de las estrategias de Bob es $\Sigma_{-i}$ . Mi formulación no decía nada sobre estrategias puras. Pero la distinción entre estrategias puras y mixtas es, en efecto, confusa, y por eso la gente suele trabajar con creencias en lugar de con estrategias puras.

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