Primas de riesgo en tiempo continuo

Question

Tomar alguna variable de estado $X(t)$ que sigue la ley del movimiento

$$ \dot X(t) = f(t)X(t) $$

donde $f(t)$ es una función política, y determina la tasa de crecimiento de $X(t)$ . Como segundo choque, tenemos $\psi$ que es iid. El agente por defecto siempre que

$$ g(X(t), \psi) \leq 0$$

Dejemos que el agente pida prestado un dinero que tendrá que devolver continuamente. Calculemos la prima de riesgo. La probabilidad de impago en $t+\epsilon$ es

$$Prob(g(X(t+\epsilon), \psi) \leq 0) $$

Como el préstamo tiene que ser devuelto continuamente, el tipo de interés, dado un tipo de interés sin riesgo $r^*$ y los prestamistas neutrales al riesgo, viene dada por

$$ r^* = r \cdot \lim_{\epsilon\to 0} \left(1 - Prob(g(X(t+\epsilon), \psi) \leq 0)\right)$$

Sin embargo, como la ley del movimiento para $X(t)$ es continua, en el límite, se convierte en

$$ r^* = r \cdot \left(1-Prob(g(X(t), \psi) \leq 0) \right)$$

Esto significaría que la prima de riesgo del agente es independiente de lo que hace: su política $f(t)$ ya no aparece.

Pero como $f(t)$ afecta al estado $X(t)$ y esta última la probabilidad por defecto, creo que debería. ¿Cuál es mi error aquí?

Las referencias están bien. La mayoría de las referencias de finanzas de tiempo continuo que conozco son demasiado profundas para esta pregunta bastante simple.

Answer 1

La forma más sencilla de modelar la deuda a corto plazo pero con riesgo en tiempo continuo es hacer que su $\psi$ sea el incremento de un proceso de Poisson compuesto.

Los saltos en este proceso corresponden a eventos que pueden o no provocar el incumplimiento; el tamaño del salto puede entrar junto con el estado $X(t)$ en una función como su $g(X(t),\psi)$ para determinar si se produce o no el impago. Utilizando esta formulación, se puede eludir tu preocupación en el comentario de que "la deuda no tiene riesgo, si se devuelve casi inmediatamente".

Si, por ejemplo (en un caso sencillo), el incumplimiento se produce siempre que hay un incremento no nulo en el Poisson compuesto, independientemente del tamaño de este incremento, entonces si la tasa de llegada de estos saltos es $\mu$ el tipo de interés será $r=r^*+\mu$ el tipo libre de riesgo más el tipo de impago de los flujos. Si (en un caso más complicado) el impago sólo se produce para algunos tamaños de incremento, según un umbral que depende de $X(t)$ , entonces podemos obtener $r$ variando con $X$ .

En este entorno, su observación de que $f(t)$ no afecta a $r(t)$ es completamente correcto. Pero esto se debe a que $f(t)$ no afecta simultáneamente a $X(t)$ y, por lo tanto, no afecta a si habrá o no un impago si el choque de Poisson se produce en el momento $t$ . $f$ afecta futuro $X$ y, por lo tanto, afectará potencialmente a las futuras probabilidades de impago y a los tipos de interés.

La propiedad que vemos aquí - donde su póliza hoy no afecta a su coste de interés hoy, porque los acreedores a corto plazo sólo se preocupan por el actual La probabilidad de impago y su política no pueden afectar a eso de inmediato - es genéricamente una característica extraña de los modelos de deuda a corto plazo, y se pone de manifiesto con mayor crudeza en el entorno de tiempo continuo. Por eso los modelos de deuda a largo plazo suelen ser más realistas, porque el precio de la deuda a largo plazo incorpora las decisiones futuras de impago y, por tanto, los efectos de la política sobre los valores futuros de la variable de estado.