Ito vs. Stratonovich: ¿Por qué el punto medio exacto hace que la corrección de Ito sea nula?

Question

Tal vez esté enfocando esto desde la dirección equivocada, pero estaba pensando en la relación entre Ito y Stratonovich integrales:

Es un resultado bien conocido que para convertir uno en el otro se necesita un término adicional de corrección Ito, que básicamente es una corrección de convexidad.

Mi pregunta
Entiendo que se necesita este término extra en el caso de Ito. Mi problema es que no tengo una buena intuición de por qué se pierde este término extra exactamente en el punto medio cuando se construye la integral de Stratonovich. ¿Por qué no más a la derecha o más a la izquierda? O dicho de otra manera: ¿Por qué la situación es siempre así de simétrica y por tanto independiente de la función integrada?

Editar
Una corazonada que tengo es que tiene que ver con _variación cuadrática acotada_ : Como la función cuadrática es simétrica, el punto medio equilibra automáticamente las "distorsiones" del lado izquierdo y del derecho. ¿Es esta idea correcta y, en caso afirmativo, cómo se puede mostrar este comportamiento en la definición de la integral de Stratonovich (y de Ito)?

Answer 1

Añadiendo a la explicación matemática de @Gordon quiero dar alguna intuición:

La razón por la que el punto medio hace que el término de corrección $0$ es que cuando se toma el derecha punto se obtiene un resultado como la integral de Ito pero con un negativo término de corrección (porque ahora se mira "desde el futuro hacia el pasado" donde se tiene el mismo efecto de la convexidad - ¡pero "en la otra dirección"!). La integral de Stratonovich es sólo la media aritmética de las dos y, por tanto, ¡pierde el término de corrección!

He actualizado el siguiente documento en consecuencia, los detalles se encuentran en la página 14:
von Jouanne-Diedrich, Holger, Ito, Stratonovich y amigos (18 de mayo de 2017). Disponible en SSRN: https://ssrn.com/abstract=2956257

Answer 2

Hay un buen debate en el capítulo 5 del libro Integración estocástica y ecuaciones diferenciales por Protter. Obsérvese que, en general, la integral de Stratonovich está definida por \begin {align*} \int_0 ^t Y_{s-} \circ dX_s = \lim_ { \pi \rightarrow 0} \sum_ {i=1}^n \frac {1}{2}(Y_{t_i}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}). \end {align*} Aquí, $\pi$ es el módulo de la partición (puede ser aleatoria) $0=t_0 <t_1 < \cdots < t_n=t$ . Sin embargo, para un movimiento browniano estándar $B=\{B_t, t \ge0\}$ , podemos definir \begin {align*} \int_0 ^t f(B_s) \circ dB_s = \lim_ { \pi \rightarrow 0} \sum_ {i=1}^n f \Big (B_{ \frac {t_i+t_{i-1}}{2}} \Big )(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}). \end {align*}

Del teorema 30 del capítulo 5 del libro citado, \begin {align*} \lim_ { \pi \rightarrow 0} \sum_ {i=1}^n B_{ \lambda t_{i-1}+(1- \lambda )t_i}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}) &= \int_0 ^1 B_s dB_s + 1- \lambda\\ &= \frac {1}{2}B_1^2 + \frac {1}{2}- \lambda , \tag {1} \end {align*} para cualquier $0<\lambda <1$ . Es decir, sólo se toman valores en los puntos medios del intervalo, o $\lambda=\frac{1}{2}$ El término de corrección puede desaparecer.

Teorema 30: Sea X un semimartingale y Y un semimartingale continuo. Sea $\mu$ sea una medida de probabilidad en [0,1] y que $\alpha = \int_0^1 k \mu(dk)$ . Supongamos además que $[X, Y]_t$ es absolutamente continua. Entonces \begin {align*} &\ \lim_ { \pi \rightarrow 0} \sum_ {i=1}^n \int_0 ^1 f(Y_{t_{i-1}+k (t_i-t_{i-1})}) \mu (dk)(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}) \\ =&\ \int_0 ^1 f(Y_s)dX_s + \alpha \int_0 ^1f'(Y_s)d[Y, X]_s. \end {align*}

Ahora, para $0<\lambda <1$ , tomando $\mu =\delta_{1-\lambda}(dk)$ es decir, la masa puntual en $1-\lambda$ obtenemos $(1)$ arriba.