Opciones de precios bajo dominio restringido

Question

¿Cómo puedo fijar el precio de una opción cuando el valor subyacente no puede cotizar por encima de un determinado precio? Supuse que sería tan sencillo como restringir los límites de integración de la PDF a B (la barrera) en lugar de al infinito, pero no funciona.

Por ejemplo, si el precio actual es 30, la barrera es 40 y el strike es 35, entonces el precio de la opción nunca superará los 5 dólares.

Después de 5 días y numerosos intentos funciona para todos los precios, barreras y huelgas posibles

Definir la barrera como $p_d$

Huelga $p_s$

Precio actual $p_1$

Criterios:

$p_s \le p_b$

si $p_b \le p_s$ la opción no tiene valor

La barrera tiene dos efectos: hace que las llamadas sean más baratas para todas las huelgas y puede restringir el precio máximo de la llamada de $p_1$ a algo menos

Pero la barrera en sí no es una opción de barrera, lo que significa que la opción no pierde su valor si se cruza.

El precio máximo de compra $m$ es:

$m=(p_1-g_1)H(p_1-g_1)$

$g_1=p_s-\left[(p_d-p_1)+(p_s+p_1-p_d)H(p_d-p_1-p_s)\right]$

Donde H es la función del lado pesado

Esto puede probarse introduciendo varias barreras, huelgas y precios iniciales. Si $p_1=30,p_s=35,p_d=40$ entonces $m=5$

En general, si $p_1 \le p_d-p_s$ entonces $m=p_1$

Y por lo demás $m=p_d-p_s$

Entre la huelga y la barrera tienes un black-scholes restringido :

$u=\ln(p_1)+(r-\alpha^2/2)t$

$a=\sqrt{t}\alpha$

$\int_{p_s}^{p_b}{\frac{e^{-rt}(y-p_s)}{ay\sqrt{2\pi}}\exp{\left[-\frac{(\ln(y) - u)^2}{2a^2 }\right]}}\,dy$

Como $p_b \to \infty$ tienes el clásico black-scholes.

Como $\alpha,r,t \to \infty$ va a cero y el precio máximo teórico $m$ se hace cargo. De lo contrario, la llamada es un punto intermedio.

Probabilidad de vencer por encima de la barrera:

$N(d_1)=\int_{p_d}^{\infty}{\frac{e^{-rt}}{p_1a\sqrt{2\pi}}\exp{\left[-\frac{(\ln(y) - u)^2}{2a^2 }\right]}}\,dy$

Y una probabilidad por debajo de ella: $1-N(d_1)$

Evaluando las integrales y sustituyendo:

$\begin{align} d_1 &= \frac{1}{\alpha\sqrt{t}}\left[\ln\left(\frac{p_1}{p_d}\right) + \left(r + \frac{\alpha^{2}}{2}\right)t\right] \\ d_2 &= \frac{1}{\alpha\sqrt{t}}\left[\ln\left(\frac{p_1}{p_d}\right) + \left(r - \frac{\alpha^{2}}{2}\right)t\right] \\ d_3 &= \frac{1}{\alpha\sqrt{t}}\left[\ln\left(\frac{p_1}{p_s}\right) + \left(r + \frac{\alpha^{2}}{2}\right)t\right] \\ d_4 &= \frac{1}{\alpha\sqrt{t}}\left[\ln\left(\frac{p_1}{p_s}\right) + \left(r - \frac{\alpha^{2}}{2}\right)t\right] \\ \end{align} $

La llamada es:

$\left[mN(d_1)+(p_1(N(d_3)-N(d_1))+p_se^{-rt}(N(d_2)-N(d_4)))(1-N(d_1))\right]H(p_d-p_s)$

Answer 1

Bueno, primero tendríamos que escribir un proceso estocástico que tome valores en un espacio acotado en los números reales. Mira la dinámica propuesta por Detemple, García y Rindisbacher ( 2003 ). Lo llaman el proceso NMRCEV, véase la ecuación 23 de la página 12. Esencialmente, piensa en él como un proceso CEV Ornstein-Uhlenbeck ampliado que está acotado.

Una dinámica un poco más fácil de usar podría ser algo así como, suponer que la dinámica neutral al riesgo está dada por algo

$$ dS_t = (\kappa(1_{S_t < 0} - 1_{S_t > U}) + r) dt + \sigma dW_t(1_{S_t > 0}1_{S_t < U}) $$

Creo que eso crea un estado de absorción en la barrera superior para cualquier tipo de interés distinto de cero, pero eso puede ser deseable o no. Para cualquier cosa que se parezca a la ausencia de arbitraje, es probable que se requiera. Se puede fijar el precio con y sin $r$ y ver la diferencia.

Entonces se podría utilizar la simulación de Monte Carlo para fijar el precio de la opción o, mejor aún, bajo los supuestos adecuados, no hay razón para no escribir esas expectativas como integrales de la densidad normal estándar.

Answer 2

Hay algo que se llama "opción limitada" que sí tiene un dominio restringido. Hay un par de versiones de esto, algunas de las cuales utilizan el método de las imágenes combinado con el ejercicio automático en la barrera. No te dice cómo se comportan las opciones existentes bajo la introducción de una barrera en el contexto de la paridad put call