Foward-opción de inicio de precios

Question

Considerar una probabilidad filtred space $(\Omega \mathcal F, \mathbb F, \mathbb P)$, donde $\mathbb F = (\mathcal F_t)_{0\leq t\leq T}$ satisfing las condiciones habituales y se genera por $1 $ d - Movimiento Browniano (con $\mathcal F_T = \mathcal F$).

También, considere la posibilidad de un mercado financiero donde la tasa de interés es nulo, $r=0$, y la dinámica de los activos de riesgo $S$ es dada por $$S_t= S_0 + \int_0^t \mu_s ~ds +\int_0^t \sigma_s ~dW_s \quad , t \geq 0$$

donde $t \in [0,T] \mapsto \mu_t$ y $t \in [0,T] \mapsto \sigma_t \geq 0$ son deterministas y funciones continuas.

Supongamos que hay una medida $\mathbb Q \sim \mathbb P$ y $\mathbb Q$-movimiento browniano $W^{\mathbb Q}$ tal que $$S_t= S_0+\int_0^t \sigma_s ~dW_s^{\mathbb Q}\quad , t \leq T$$

Queremos evaluar y cubrir una opción de inicio, cuyo rendimiento es de $(S_T-\kappa S_1)^+$ donde $\kappa >0$ (supongamos que T>1). Vamos a admitir que puede ser perfectamente hegded y tomemos nota de

$$ p(t,x) := \mathbb E^{\mathbb Q} \left [ (S_T-\kappa S_1)^+ | S_t=x \right] \quad \text{para} \ (t,x) \in [0,1]\times(0,\infty)$$

Mostrar que

$$ p(t,x) = x, F(1,\kappa \int_0^T \sigma_s ^2 ds) \quad \text{si} \ t\in [0,1]$$

donde, por $y, K, \gamma^2 >0$ $$F(y,K,\gamma^2) = \mathbb E \left [ (ye^Y-K)^+ \derecho] \quad \text{con} \ Y \sim \mathcal N(-\gamma^2/2, \gamma^2)$$

Agradecería cualquier consejo. Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} p(t,x) &:= \mathbb E^{\mathbb Q} \left [ S_1 (S_T/ S_1-\kappa)^+ | S_t=x \right] \\&= x \mathbb E^{\mathbb Q} \left [ (S_T/x-\kappa )^+ | X_t=x \right] \end{align}

para todos $t<1$ y $x \in (0, +\infty)$, desde $S$ es $\mathbb Q$ -martingala. Ahora, si se incluye la condición adicional de $\sigma$ que $\sigma_t := \tilde\sigma(S_t) ~S_t$, podemos concluir que \begin{align} p(t,x) &= x F(1,\kappa \int_1^T \tilde\sigma(S_s)^2 ds), \end{align}

donde $F$ es definido como en la pregunta, PERO por debajo de $\mathbb Q$ y no menos de $\mathbb P$ como se dice.

Answer 2

Ciao! Permítanme decir que yo creo que le dio el mal dinámica de $S_t$ (por ejemplo porque es un activo financiero con la dinámica Normal...por lo que podría ser negativo!!(?) ).

Me voy a dar una solución tanto para el caso (normal y log-normal), pero sólo el log-normal que una lleva a la solución correcta.

Log-normal caso

En este caso $S_T$ tiene las siguientes dynaic en $\mathbb{Q}$: $$ dS_t = S_t \sigma_t dW_t. $$ La integración de $S_t$ desde $1$ que se obtiene:

$$ S_T = S_1\exp\left[-\frac{1}{2}\int_1^T\sigma_s^2 ds + \int_1^T\sigma_s dWs\derecho] $$

de modo que $S_T /S_1$ es independiente de $S_t \ \forall t$ (esto va a ser importante en un minuto). Morover notar que: $$ S_T/S_1 \sim e^Y $$ donde $Y \sim \mathcal N \left( -\frac{1}{2}\int_1^T \sigma_s^2 ds, \int_1^T \sigma_s^2 ds \derecho) = N \left( -\frac{1}{2}\gamma^2 , \gamma^2 \right) $

Ahora podemos hacer el cálculo explícito. Tee idea principal es utilizar la torre de la propiedad y dividir la integral en dos partes. Después de eso vamos a utilizar la observación anterior y el fuct que la primera integral no depende de $S_1$: $$ \begin{align} \mathbb{E} \left[ (S_T - kS_1)^+ | S_t = x \right] & = \mathbb{E} \left[S_1\a la izquierda. \left( \frac{S_T}{S_1} - k\derecho)^+ \derecho| S_t = x \right] \\ & =\mathbb{E} \left. \left[ \mathbb{E} \left. \left[S_1\left( \frac{S_T}{S_1} - k\derecho)^+ \derecho| S_1\derecho] \derecho| S_t = x\right]\\ & =\mathbb{E} \left. \left[ S_1 \mathbb{E} \left[\left.\left( \frac{S_T}{S_1} - k\derecho)^+ \derecho| S_1\derecho] \derecho| S_t = x\right] \\ & =\mathbb{E} \left. \left[ S_1 C(k, 1, \Sigma, 0) \derecho| S_t = x\right] \end{align} $$

$C(k, 1, \Sigma, 0)$ es el precio de una opción call con strike $k$, punto de partida de 1$$, la tasa de $0$ y la volatilidad de la volatilidad de $S_T/S_1$.

La opción de compra tiene un valor de partida de 1 $$ y no depender de $S_1$, así que podemos poner fuera del valor esperado. Ahora vamos a utilizar el hecho de que $S_1$ es una martingala en $\mathbb{Q}$ y obtenemos:

$$ \mathbb{E} \left[ (S_T - kS_1)^+ | S_t = x \right] = C(k, 1, \Sigma, 0) S_t $$

cual es el resultado final.

Caso Normal

Aquí el problema es claro: $S_T/S_1$ depende de $S_1$ por lo que no podemos utilizar la misma técnica que en el caso anterior. No tengo idea, así que voy a seguir el "samurai" senda de la brutal cálculo.

Tenemos: $$ S_T = S_1 + \int_1^T \sigma_s dW_s \sim \mathcal{N}(S_1, \int_1^T \sigma^2_s ds) $$ así que:

$$ \begin{align} \mathbb{E} \left[\a la izquierda. (S_T - kS_1)^+ \derecho|S_t\derecho] &= \mathbb{E} \left[ \a la izquierda. \mathbb{E} \left[\a la izquierda. (S_T - kS_1)^+ \derecho| S_1\derecho] \derecho|S_t \derecho] \\ & = \mathbb{E} \left[\a la izquierda. \frac{1}{\sqrt{2\pi}\Sigma} \int_0^{+\infty} x\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2\Sigma^2} \right) dx \derecho| S_t\derecho] \end{align} $$

donde $\mu = (1-k)S_1$ y $\Sigma = \int_1^T \sigma_s^2 ds$.

Permítanme centrarme en la integral:

$$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\Sigma} \int_0^{+\infty} x\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2\Sigma^2} \right) dx & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\frac{\mu}{\Sigma}}^{+\infty} (\Sigma \xi + \mu)\exp\left(\frac{-\xi^2}{2} \right) d\xi \\ & = \frac{\Sigma}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{\mu^2}{2\Sigma^2} \derecho) + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}\Phi\left( \frac{\mu}{\Sigma} \derecho) \end{align} $$

donde $\Phi$ es el acumulado de la función de la norma de gauss. En su punto, utilizando el hecho de que: $$ S_1 = S_t + \int_t^1 \sigma_s dW_s \sim \mathcal{N} \left( S_t, \int_t^1 \sigma_s^2 ds \derecho) $$ tenemos que resolver la siguiente integral:

$$ \begin{align} \mathbb{E} \left[ \frac{\Sigma}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{\mu^2}{2\Sigma^2} \derecho) + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}\Phi\left( \frac{\mu}{\Sigma} \derecho) \right] & = \frac{\Sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R} \exp \left( -\frac{(1-k)^2x^2}{2 \Sigma^2} \right) \exp\left( -\frac{(x-S_t^2)}{2\Gamma^2} \right) dx \\ & \quad + \int_\mathbb{R} (1-k)x \Phi\left( \frac{(1-k)x}{\Sigma} \derecho)\exp\left(- \frac{(x-S_t)^2}{2\Gamma^2} \right) dx \end{align} $$ donde $\Gamma = \int_1^t \sigma_s^2 ds $.

La primera integral debe ser fácil de calcular, con sólo completar el cuadrado en el exponente (el resultado será muy mal aspecto, pero fácil de hacer).

Sobre la segunda, se parece más complicado...podría ser útil el siguiente resultado:

Resultado $$ \int_\mathbb{R} x\Phi(x)e^{\frac{-x^2}{2}} = \int_\mathbb{R} e^{-x^2} = \sqrt{\pi} $$ (Todavía estoy trabajando en ello)

Ciao!