Dos jugadores subasta de primer precio con la reventa

Question

Ejercicio 2.5 en Vijay Krishna de la Subasta de la Teoría de la (ligeramente modificado):

Considere dos postor subasta de primer precio en el que los oferentes de los valores se reparten en función $F$. Deje que $\beta$ ser el simétrico de equilibrio, es decir, $$\beta(x)=E[Y\mid Y<x],$$ donde $$ Y se extrae de $F$.

Ahora supongamos que, después de la subasta es más, tanto la pérdida y ganancia de las ofertas se anunció públicamente. Además, existe la posibilidad de postauction de reventa: el ganador de La subasta podrá, si lo desea, ofrecemos el objeto para el otro postor en un fijo de "lo tomas o lo dejas es" el precio de $p$. Si el otro licitador se compromete, a continuación, el objeto cambia de manos, y el que pierde el postor paga el postor ganador $p$. De lo contrario, el objeto se mantiene con el mejor postor, y el dinero no cambia de manos. El posibilidad de postauction la reventa de esta manera se conoce comúnmente a tanto los oferentes, antes de participar en la subasta. Demostrar que $\beta$ sigue siendo un equilibrio, incluso si la reventa está permitido. En particular, muestran que un postor con el valor de $x$ no puede ganar la licitación de un monto de $b>\beta(x)$, incluso cuando se tiene la opción de revender el objeto para el otro postor.

Llamar a los dos postores Jane y Mike. Dado Mike oferta, y suponiendo que Mike sigue la estrategia de equilibrio $\beta$, Jane puede determinar Mike valor exacto. Esto implica que si Jane gana la partida, pero se da cuenta de que ella tiene menor valor que la de Mike, ella se la venden a Mike exactamente a Mike valor.

Se debe calcular Jane beneficio esperado cuando licitación $\beta(z)$ con $z\geq x$ cuando su valor es de $x$, y muestran que el beneficio esperado es maximizada cuando $z=x$.

Jane gana con probabilidad $F(z)$. Si pierde, su rentabilidad es $0$. Si ella gana y su valor es superior a la de Mike valor, su rentabilidad es de $x\beta(z)$. Si ella gana y su valor es inferior a la de Mike valor, $Y$, su rentabilidad es $y-\beta(z)$. Como resultado, su beneficio esperado es de $$F(z)\beta(z)+F(x)x+(F(z)-F(x))E[Y\mid x<Y<z].$$

El plazo $F(x)x$ no depende de a $z$, así que estamos a la izquierda para maximizar $$-F(z)\beta(z)+(F(z)-F(x))E[Y\mid x<Y<z].$$

¿Cómo podemos maximizar esta?

Answer 1

Veamos esto con inducción hacia atrás. Vamos a $v_{i}$ ser mi valoración y $v_{-i}$ se su valoración. Supongo que me he ganado el artículo. Entonces $v_{i} \geq v_{-i}$. Si puedo vender el artículo al precio de $v_{-i}$, entonces mi utilidad es de $v_{-i} - b_{i} \leq v_{i} - b_{i}$, donde $b_{i}$ es mi oferta de acuerdo a la simetría del equilibrio de la estrategia de la oferta (que no necesariamente sea $\beta$). Aviso que no me ganancia de $v_{i}$ por la venta del elemento, como yo, no la poseen.

Vemos que nunca voy a tener incentivo para vender el artículo. Así que debo oferta, como si yo no voy a vender el artículo. Tenemos un equilibrio de estrategia de ofertas para esto de todos modos, dada por la primera subasta de precios.

Answer 2

Primero vamos a ver por qué este problema es muy interesante: Supongamos que ambos jugadores sombra de su oferta de acuerdo a la costumbre primera subasta de precios de equilibrio. Si estas estrategias son de óptima depende crucialmente de lo que sucede en la posterior subjuegos. Vamos a considerar Jane que tiene 0 de valoración para el bien. En la habitual primera subasta de precios, Jane debe de oferta 0. Sin embargo, esto ya no es cierto. De hecho, Jane ahora tiene una valoración positiva de ganar el bien en la subasta, ya que ella puede vender con cierta probabilidad a Mike. A partir de la toma o lo deja-se ofrecen extractos de la completa disposición a pagar de Mike, Jane, la valoración para la buena es ahora de $E[Y]$ donde $$ Y se extrae de $F$. Del mismo modo, todos los demás deben comportarse como si agregan a su valoración $y$ el importe de $E[\bar Y|\bar Y>y]$ ya que este es el valor esperado de reventa de la mercancía.

A partir de este simple razonamiento, es muy sencillo cambiar el primer precio de la subasta condición de equilibrio

$\beta(x) = E[Y|Y<x]$

en una versión que representa el aumento de la valoración de la reventa:

$\beta(x) = E[Y+E[\bar Y|\bar Y > Y]\, | \, (Y+E[\bar Y|\bar Y > Y]) < (x + E[\bar Y|\bar Y > x]) ]$

donde ambos $Y$ y $\bar Y$ provienen de $F$.

Nota 1: el concepto del equilibrio no fue especificado. La solución anterior se supone subgame la perfección. El conjunto de equilibrios de Nash es mucho mayor, ya que ofrece puede ser rechazado fuera del equilibrio camino.

Nota 2: desde las estrategias son uno-a-uno asignaciones de los tramos de valoración, los jugadores siempre se puede inferir la valoración de que el otro jugador de la observó oferta.