Teorema de la representación de Martingala

Question

Que $r_t, \theta_t$ sean algunos procesos estocásticos impulsados por un movimiento Browniano $N$ dimensional $W_t$ (por supuesto se asume que están adaptados a la filtración natural $\mathcal{F}_t$ de ese movimiento Browniano). Ahora, considere la esperanza condicional: $$ C_t = \Bbb{E} \left[ \int_t^T f(r_s, \theta_s, W_s) ds \,\vert\, \mathcal{F}_t \right] $$ con $f$ una función suficientemente bien comportada. El documento que estoy leyendo (no puedo insertar la referencia debido a un NDA) afirma que la expresión anterior satisface una EDP del tipo $$ dC_t = \alpha_t dt + \nu_t dW_t $$ donde $\alpha$ y $\nu$ son posiblemente estocásticos debido al "teorema de la representación de martingalas".

Me preguntaba cómo demostrar eso. ¿Usas algún tipo de regla de Leibniz para expresar $dC_t$ y concluir? ¿O prefieres usar trucos más elaborados como la descomposición de Doob-Meyer y similares?

Answer 1

El teorema de representación de martingalas dice que para cualquier martingala $M$, existe un proceso estocástico único $\nu_t$ tal que \begin{align*} M_t = \mathbb{E}(M_0) + \int_0^t\nu_sdW_s. \end{align*> Vea, por ejemplo, este libro.

Dado que \begin{align*} C_t &= \Bbb{E} \left( \int_t^T f(r_s, \theta_s, W_s) ds \mid \mathcal{F}_t \right)\\ &= -\int_0^t f(r_s, \theta_s, W_s) ds + \Bbb{E} \left( \int_0^T f(r_s, \theta_s, W_s) ds \mid \mathcal{F}_t \right), \end{align*> y $$\Bbb{E} \left( \int_0^T f(r_s, \theta_s, W_s) ds \mid \mathcal{F}_t \right)$$ es una martingala, existe un proceso estocástico único $\nu_t$ tal que \begin{align*> \Bbb{E} \left( \int_0^T f(r_s, \theta_s, W_s) ds \mid \mathcal{F}_t \right) = a + \int_0^t \nu_s dW_s, \end{align*>, donde $a$ es una constante. Sea $\alpha_t = -f(r_t, \theta_t, W_t)$. Entonces \begin{align*>> dC_t = \alpha_t dt + \nu_t dW_t. \end{align*>