Supongamos que la utilidad directa $u(x_1,...,x_n)$ es cóncava en cada uno de sus argumentos. ¿Implica esto que la utilidad indirecta $U(w,p)$ es cóncavo con respecto a $w$ ? Si todos los bienes son normales, esto se puede demostrar, por ejemplo, utilizando los multiplicadores de Lagrange. Pero, ¿es cierto en general?
Se puede suponer que $u$ es diferencial tantas veces como sea necesario.
Gracias.
Su afirmación tampoco parece ser cierta para las mercancías normales. Un contraejemplo: $$ U(x_1,x_2) = (x_1x_2)^{\frac{2}{3}} $$ Por la propiedad Cobb-Douglas el paquete óptimo dado $w,p$ es $$ (x_1,x_2) = \left(\frac{w}{2p_1}, \frac{w}{2p_2}\right), $$ por lo que ambos bienes son normales. La utilidad indirecta es $$ U(w,p) = \left(\frac{1}{4p_1p_2}\right)^{\frac{2}{3}}w^{\frac{4}{3}}. $$ Aquí $w$ se eleva a una potencia superior a 1 por lo que $U(w,p)$ es convexo en $w$ .
Quizá valga la pena señalar que esto se debe, al menos en parte, a su elección de la representación de la utilidad. La función de utilidad $\hat{U}(x_1,x_2) = (x_1 x_2)^{1/2}$ representa las mismas preferencias, pero tiene una utilidad indirecta que es lineal en $w$ .
@EconomistaTeórico Sí, pero también hay que tener en cuenta que la elección de la representación de la utilidad no es completamente libre. Es decir $U(x_1,x_2) = x_1^2x_2^2$ no es un buen contraejemplo, porque aunque obviamente tiene una función de utilidad indirecta convexa, no es cóncava en los bienes individualmente. Así que el espacio de representación era algo limitado y mi elección estaba dentro de las limitaciones. La pregunta inversa de "Si la función de utilidad indirecta es cóncava en la renta, ¿existe siempre una representación de la función de utilidad cóncava en los bienes individualmente?" es interesante.
Pregunta: si $u$ es cóncava (como función multidimensional), ¿garantiza esto que la utilidad indirecta es cóncava? Creo que es cierto, pero ¿me equivoco de nuevo?
Quizá merezca la pena señalar que : i f $u$ es cóncava (como función multidimensional), dará lugar a una función de utilidad indirecta que es cóncava en $m$ .
Si $u:\mathbb{R}^n_+\rightarrow \mathbb{R}$ es cóncava, entonces la función de utilidad indirecta $v:\mathbb{R}^n_+ \times \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}$ definido como $v(p, m) := \displaystyle\max_{x\in B(p, m)} u(x)$ también es cóncava en $m$ . Aquí $B(p, m) = \{x \in \mathbb{R}^n_+ : p\cdot x \leq m\}$ es el conjunto del presupuesto. Dejemos que $x^d(p, m)$ denota la solución del problema de maximización $\displaystyle\max_{x\in B(p, m)} u(x)$ para que $v(p, m) = u(x^d(p, m))$ .
Consideremos cualquier $m'$ y $m''$ y un $\lambda \in [0, 1]$ ,
$p\cdot x^d(p, m') \leq m'$
$p\cdot x^d(p, m'') \leq m''$
Por lo tanto,
$p\cdot (\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')) \leq \lambda m' + (1-\lambda) m'' \tag{1}$
En consecuencia, \begin{eqnarray*} v(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')& = & u(x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')) & \\ & \geq & u(\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')) & \ \ [by \ (1)] \\ & \geq & \lambda u(x^d(p, m')) + (1-\lambda)u(x^d(p, m'')) & \ \ [by \ \text{concavity of } u] \\ & = & \lambda v(p, m') + (1-\lambda)v(p, m'') & \end{eqnarray*}
Podría precisar que su primera desigualdad se desprende del hecho de que a la renta $\lambda m' + (1-\lambda)m''$ el paquete $x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')$ maximiza la utilidad, mientras que este no es necesariamente el caso para el conjunto de alternativas factibles $\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')$
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Lo que has escrito es \begin{eqnarray*} u(x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'')) \geq u(\lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'')) \end{eqnarray*} asumiendo que $u(.)$ es no decreciente lo que significa que ; \begin{eqnarray*} x^d(p, \lambda m' + (1-\lambda)m'') \geq \lambda x^d(p, m') + (1-\lambda)x^d(p, m'') \end{eqnarray*} ¿cómo has llegado a esa conclusión? No puedo fácilmente que de $(1)$ . ¿Significa eso que la demanda es una función cóncava cuando la utilidad es cóncava?