"Si $\lambda$ es mayor que 1, el sistema explota". ¿Por qué explota el sistema?

Question

David Romer en su libro de texto Macroeconomía avanzada ( Tercera edición ) escribe respecto a la velocidad de convergencia del Modelo de diamante lo siguiente:

( Pág. 83 )

Ecuación (2.60) [ $k_{t+1}={1\over{(1+n)(1+g)}}{1\over{2+\rho}}(1-\alpha)k_t^\alpha$ ] da $k_{t+1}$ en función de $k_t$ . La economía está en su senda de crecimiento equilibrado cuando estos dos son iguales, es decir $k^*$ se define por

$k^*={1\over{(1+n)(1+g)}}{1\over{2+\rho}}(1-\alpha)k^{* \alpha}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$ (2.61)

Resolviendo esta expresión para $k^*$ rinde

$k^*=\left[{(1-\alpha)\over{(1+n)(1+g)(2+\rho)}}\right]^{1 \over{1-\alpha}}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$ (2.62)

[...] También podemos averiguar la rapidez con la que la economía converge a la senda de crecimiento equilibrado. Para ello, volvemos a linealizar en torno a la senda de crecimiento equilibrado. [...] Así:

$k_{t+1} \simeq k^*+\left( {{dk_{t+1}}\over{dk_t}}\Big{|}_{k_t=k^*}\right) \left(k_t-k^*\right)\space\space\space\space$ (2.64)

Dejemos que $\lambda$ denotan $dk_{t+1}/dk_t$ evaluado en $k_t=k^*$ . Con esta definición, podemos reescribir (2.64) [...]

$k_t-k^* \simeq \lambda^t (k_0-k^*)\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$ (2.65)

Donde $k_0$ es el valor inicial de $k$

Mi pregunta

( Pág. 84 )

[...] si $\lambda$ es mayor que 1, el sistema explota

¿Qué significa que el sistema explota cuando $\lambda$ es mayor que 1? ¿Por qué explota cuando $\lambda$ es mayor que 1?

Answer 1

La ecuación (2.64) puede escribirse como (en primer orden)

$$ k_{t+1} - k^* = \lambda (k_t - k^*) \tag{1a} $$

Definir la cantidad $\kappa_t$ como

$$ \kappa_t \stackrel{\rm def}{=} k_t - k^* \tag{2} $$

Así que

$$ \kappa_{t+1} = \lambda \kappa_t \tag{1b} $$

Esto se puede resolver muy fácilmente al darse cuenta de que

\begin{eqnarray} \kappa_1 &=&\lambda \kappa_0 \\ \kappa_2 &=&\lambda \kappa_1 = \lambda(\lambda\kappa_0) = \lambda^2\kappa_0 \\ &\vdots& \\ \kappa_t &=& \lambda^t \kappa_0 \tag{3} \end{eqnarray}

Así que la dinámica es $\kappa$ es impulsado por el valor $\lambda^t$ . Puede ver que si $\lambda = 1$ entonces $\lambda^t=\lambda$ para cada $t$ et $\kappa$ se mantiene constante. Sin embargo, si $\lambda > 1$ los valores $k^t$ será cada vez más grande ( explota ) como $t$ aumenta, es decir

$$ \lim_{t\to \infty} \kappa_t \stackrel{\lambda > 1}{=} \infty $$

Asimismo,

$$ \lim_{t\to \infty} \kappa_t \stackrel{0< \lambda < 1}{=} 0 $$

Answer 2

Un sistema es explosivo si sus coeficientes son no estacionarios.

La estacionariedad es una propiedad importante en los modelos dinámicos, ya que nos indica que se puede obtener un valor de equilibrio (lo que es importante para encontrar el BGP). Si el sistema es explosivo no existe ningún equilibrio (ni BGP).

En tu ejemplo donde tienes la igualdad: $$k_t-k^* \simeq \lambda^t (k_0-k^*)$$

Si $\lambda\le1$ y a medida que avanza el tiempo ( $t=1,2,...,n$ ) el impacto de un cambio de política se acerca a un nuevo equilibrio y BGP.

Sin embargo, si $\lambda>1$ entonces su sistema es explosivo y no se alcanzará el equilibrio, por lo que el sistema es irresoluble como $t$ tiende a $\infty$ .