¿La autocorrelación de los rendimientos de los abdominales es sólo una consecuencia del estallido de la volatilidad?

Question

En Pfaff's "Modelización del riesgo financiero y optimización de carteras con R" se exponen los siguientes hechos estilizados (entre otros, p.26):

• La volatilidad de los procesos de retorno no es constante con respecto al tiempo.
• Los rendimientos absolutos o al cuadrado están muy autocorrelacionados.

El siguiente código R del libro se utiliza para ilustrar la última de las dos afirmaciones anteriores:

library(fBasics)
library(evir)
data(siemens)
SieDates <- as.character(format(as.POSIXct(attr(siemens, "times")),"%Y-%m-   %d"))
SieRet <- timeSeries(siemens*100, charvec = SieDates)
colnames(SieRet) <- "SieRet"
SieRetAbs <- abs(SieRet)
acf(SieRetAbs, main = "ACF of Absolute Returns", lag.max = 20,
ylab = " ", xlab = " ", col = "blue", ci.col = "red")

Genera la imagen de abajo:

Pero se puede conseguir un resultado similar mediante la introducción de una única ráfaga de volatilidad en la secuencia de rendimientos distribuidos normalmente con volatilidad constante, como demuestra el código siguiente:

Random <- do.call(c, lapply(c(0.8, 1.5, 0.8), function(x) rnorm(2000, sd=x) ) )
RandomAbs <- abs((Random))
acf(RandomAbs, main = "ACF of RANDOM Returns", lag.max = 20, ylab = " ", xlab = " ", col = "blue", ci.col = "red")

Genera lo siguiente:

El propio "Random" se muestra a continuación:

¿Puede demostrarse matemáticamente que ese cambio en la volatilidad producirá una FCA de los rendimientos de los abdominales similar a la anterior? ¿Es cierto lo contrario?

En el artículo de Cont "Volatility Clustering in Financial Markets: Hechos empíricos y modelos basados en agentes" amablemente compartido conmigo por @JejeBelfort puedes leer:

Una manifestación cuantitativa de este hecho [la agrupación de la volatilidad] es que, aunque los rendimientos en sí no están correlacionados, los rendimientos absolutos $|r_t|$ o sus cuadrados muestran una función de autocorrelación positiva, significativa y que decae lentamente: $corr(|r_t |, |r_{t+\tau} |) > 0$ para $\tau$ que van desde unos minutos hasta varias semanas.

Pero, de nuevo, ¿por qué "Agrupación de la volatilidad" ¿implica una autocorrelación positiva de los rendimientos de los abdominales?

Y se los rendimientos donde

los grandes cambios tienden a ser seguidos por grandes cambios, de cualquier signo, y los pequeños cambios tienden a ser seguidos por pequeños cambios.

siempre producen ACF de rendimientos de abs similares a los anteriores?

Answer 1

Creo que @zer0hedge ha construido un ejemplo inteligente con el que demostrar lo que implica el estilizado hecho por la que la volatilidad engendra volatilidad.

Es correcto concluir que las explosiones de volatilidad son un tipo de autocorrelación absoluta. Todos los estallidos de volatilidad muestran características de autocorrelación de los rendimientos absolutos, pero ¿todos los tipos de autocorrelación de los rendimientos absolutos muestran características de agrupación de la volatilidad?

Digo que no porque esta explicación deja de lado otras formas en las que los rendimientos absolutos pueden mostrar signos de autocorrelación.

Para demostrar el hecho estilizado por el que se supone que la volatilidad es estocástica (por ejemplo, un proceso no estacionario de reversión de la media), podemos reescribir un GBM modificado como tal (modelo tipo Heston):

$\dfrac{dS_t}{S_t} = \mu \Delta t + \sigma_t \sqrt{\Delta t}*dZ_1$

$d \sigma^2_t \propto \eta \,\sigma \sqrt{\Delta t}*dZ_2$

con:

$\langle dZ_1 \, dZ_2 \rangle = \rho \, dt$

Dónde: $dZ_1$ y $dZ_1$ son procesos de Wiener; $\eta$ es la volatilidad de la volatilidad; y, $\rho$ es la correlación entre los rendimientos y los cambios en $\sigma^2_t$ .

Si tomamos la expectativa con $\rho =0$ entonces no se espera que una serie temporal correspondiente produzca autocorrelación de los rendimientos absolutos porque:

$\sigma _{Z_1+Z_2}={\sqrt {\sigma _{Z_1}^{2}+\sigma _{Z_2}^{2}+2\rho \, \sigma _{Z_1}\sigma _{Z_2}}}$

O bien, el efecto neto de la correlación cero es que el valor esperado de dos variables aleatorias superpuestas será indistinguible del simple aumento de la expectativa para la volatilidad determinista porque la suma de dos variables aleatorias con distribución normal tiene una distribución normal .

Sin embargo, si suponemos que los rendimientos son tendenciales (es decir, el impulso de los precios se acelera/desacelera; es decir, $\mu_t$ está autocorrelacionado), entonces también deberíamos esperar observar la autocorrelación de los rendimientos absolutos.

Por ejemplo, digamos $\mu_t$ es una función de $t$ Por ejemplo:

$d\mu_t \propto \mu_{t-\Delta t}\alpha\sqrt{t} $

donde: $\alpha$ es el coeficiente de autocorrelación.

Si la tasa de variación de los rendimientos está correlacionada con los rendimientos anteriores, entonces se deduce que los valores de los rendimientos absolutos también están correlacionados, incluso en ausencia de volatilidad estocástica y/o de agrupaciones/ráfagas de volatilidad. O, simplemente:

$\mid \frac{dS_t}{S_t} - \mathbb{E}[\frac{dS}{S}]\mid \approx \sqrt{(\frac{dS_t}{S_t}-\mathbb{E}[\frac{dS}{S}])^2}$

Con tantos esquemas plausibles que se ajustan a las observaciones, ¿cómo es que alguno de ellos es significativamente diferente de la astrología?

Answer 2

Este patrón de volatilidad es un hecho estilizado bien conocido de las series temporales financieras (véase Cont, Rama. Propiedades empíricas de los rendimientos de los activos: hechos estilizados y cuestiones estadísticas. (2001): 223-236 para más detalles) que se llama agrupación de la volatilidad .

Cualitativamente, significa que es probable que a los altos rendimientos les sigan otros altos, y lo mismo ocurre con los bajos rendimientos.

Cuantitativamente, significa que la serie de rendimientos absolutos mostrará un patrón significativo y lentamente decreciente como en el gráfico que has mostrado arriba.

En pocas palabras, lo que se busca es en realidad la definición de agrupación de volatilidad, es decir, si se tiene ese patrón, significa que hay agrupación de volatilidad.

Answer 3

Tu código básicamente implementa el supuesto que citaste:

La volatilidad de los procesos de retorno no es constante con respecto a el tiempo.

Ya sea una sola ráfaga o algún tipo de función elegante $\sigma_t$ no es importante aquí. El hecho es que su volatilidad es variable en el tiempo. Puedes llamarla constante a trozos, pero sigue caracterizándose como variable en el tiempo.

El primer gráfico demuestra lo mismo en los rendimientos empíricos, que a veces podrían modelarse con volatilidad estocástica, lo que también causará agrupación y autocorrelación de cuadrados, abs u otra función no lineal de los rendimientos.