Soy nuevo en el cálculo estocástico. Podría alguien por favor explique cómo podría calcular la varianza de
$\int_{t=o}^{T}\sqrt{|B(t)|}$ $dB(t)%$
Soy consciente de que lo primero tiene que calcular la expectativa, pero no estoy seguro de cómo ir sobre esto.
Ciao, fresco ejercicio.
La mejor cosa que usted puede hacer es ver la integral como el SDE y, a continuación, utilizar Ito Lema. En este caso particular, se puede escribir: $$ Y_t = \int_0^t \sqrt{\left|B_s \derecho|} dB_s $$ así que: $$ dY_t = \sqrt{\left|B_t \derecho|} dB_t $$
La media es fácil de calcular, ya que este proceso estocástico no tiene drift (el $dt$ plazo), por lo que ha $0$ decir. Esto significa que la varianza es de solo $\mathbb{E}[Y_t^2]$.
En este punto, lo mejor es aplicar Ito derivado a $Y_t^2$ y, a continuación, tomar el valor esperado del resultado... me deja hacer el cálculo explícito!
$$ \begin{align} dY_t^2 & = 2Y_t dY_t + \frac{1}{2} 2d \langle Y_t \rangle \\ & = 2Y_t \sqrt{|B_t|}dB_t + |B_t| dt \end{align} $$
Puesto que se va a tomar el valor esperado de los términos podemos ignorar el primero desde que la conocemos se ha $0$ significar:
$$ \mathbb{E}[Y_t^2] = \mathbb{E}\left[ \int_0^t |B_s| ds\derecho] = \int_0^t \mathbb{E}[|B_s| ] ds $$
En este punto se puede calcular el valor esperado a partir de la distribución del movimiento Browniano: consulte este. El resultado es:
$$ \mathbb{E}[Y_t^2] = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^t \sqrt{s} ds = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}} \sqrt{t^3}. $$
Ok, tal vez la última parte acerca de la absoluta valute de $B_t$ no es tan útil en general, pero siempre es útil tratar de expresar lo que eres es la integración de términos de proceso estocástico y el uso de Ito Lema. De esta manera siempre se puede descomponer el integrando en la parte con cero significa (es decir, $\dots dW_t$) y la parte que le da un valor distinto de cero contribución al valor esperado (es decir, $\dots dt$).
Ciao Ciao! AM
Esta pregunta ya tiene una marcada aceptado la respuesta, pero vale la pena señalar que, si $B_t$ es un estándar de movimiento Browniano con respecto a una filtración de $\{\mathcal{F}_t\}$, $A_t$ es un adaptada proceso continuo de caminos, y $$Z_t = \int_0^t A_s \,\mathrm{d}B_s,$$ entonces $\mathbb{E}[Z_t] = 0$ y $$ \mathrm{Var}[Z_t] = \mathbb{E}[Z_t^2] = \int_0^t \mathbb{E}[A_s^2] \,\mathrm{d}s.$$ En su caso, lo que denota la integral como $Z_t$, \begin{align*} \mathrm{Var}[Z_t] &= \int_0^t \mathbb{E}[|B_s|] \,\mathrm{d}s \\ &= \mathbb{E}[|B_1|] \cdot \int_0^t \sqrt{s} \,\mathrm{d}s \\ &= \mathbb{E}[|B_1|] \cdot \frac{2^{3/2}}{3}. \end{align*} La ley de $B_1|$ es de una media de la distribución normal, que es fácilmente controlado tener expectativa $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$, por lo que la respuesta final es $$ \mathrm{Var}[Z_t] = \frac{(2t)^{3/2}}{3\sqrt{\pi}},$$ de acuerdo con el cálculo hecho por el usuario clarkmiao. Incidentically, ya que esta variación es finito, casi con toda seguridad para todos $t$, el proceso es una martingala para todos $t \geq 0$.
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