¿Qué volatilidades debo utilizar para las opciones Quanto?

Question

La fórmula de fijación de precios de las opciones de Quanto, como se describe en este papel es una función de dos volatilidades: una del activo subyacente y otra del tipo de cambio.

¿Cómo puedo leer las volatilidades "correctas" que hay que utilizar en la fórmula de valoración de la opción quanto a partir de las superficies de volatilidad del activo subyacente y del tipo de cambio?

Answer 1

Como siempre, si puedes poner las manos en los precios de los instrumentos de quanto líquidos (por ejemplo, algunos futuros de quanto como el Nikkei cuantificado en dólares que cotiza en la CME), entonces podrías directamente implica el ajuste del quanto $\rho\sigma\tilde{\sigma}$ . El problema es que los mercados de opciones quanto no están tan desarrollados como los plain vanilla y hay que recurrir a otra cosa.

Suponga que está valorando una opción de quanto de vencimiento $T$ y la huelga $K^Q$ . El problema de hacer lo que se menciona en uno de los comentarios, es decir, elegir $$\sigma = \Sigma(K^Q,T),\quad \tilde{\sigma}=\tilde{\Sigma}(\text{atm},T)$$ donde he utilizado la notación $\Sigma(K,T)$ (resp. $\tilde{\Sigma}(K,T)$ ) para denotar toda la superficie de volatilidad Black-Scholes de la acción (resp. par de divisas), es que esto hará que el quanto forward dependa del strike de la opción de quanto que se va a valorar, lo que representa una oportunidad de arbitraje (se puede convencer fácilmente usando la paridad call put para las vainillas de quanto).

Un remedio es elegir el vol de los cajeros automáticos tanto para la divisa como para el par de acciones $$\sigma = \Sigma(\text{atm},T),\quad \tilde{\sigma} = \tilde{\Sigma}(\text{atm},T)$$ El problema en ese caso, es que en el límite a medida que la correlación equidad/flexión $\rho$ tiende a cero, los precios de sus opciones de quanto no serán consistentes simples, ya que siempre utilizará el $\text{atm}$ vol.

Si realmente quiere ser coherente con las sonrisas de las opciones plain vanilla (tanto en los mercados de renta variable como en los de divisas), entonces necesita una hipótesis de trabajo más compleja para empezar (por ejemplo, un modelo de volatilidad local o estocástico tanto para la renta variable como para el par de divisas).

Si no, también se podría calcular la covarianza histórica y asimilarla a $\rho \sigma \tilde{\sigma}$ . No hay una manera perfecta de hacer las cosas aquí.

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[Editar]

Dejemos que $S$ representan un activo de riesgo denominado en una moneda extranjera. Sea $\xi_0$ denotan un tipo de conversión constante FOR/DOM acordado en la fecha de inicio del contrato de quanto (elegido igual a $1$ en la mayoría de las aplicaciones).

¿Está de acuerdo en que, para evitar oportunidades de arbitraje, $S_T$ o, por el contrario $\xi_0 S_T$ ¿debería tener una distribución única bajo alguna Medida Equivalente de Martingala?

Dicho de otro modo, la distribución de $\xi_0 S_T$ no debería depender de algún parámetro exógeno, como un nivel de huelga, ya que eso lo haría no único (es decir, una distribución por valor de parámetro exógeno).

Bueno, en un mundo de BS (equidad $S$ y el tipo de cambio $X$ conducido por GBMs correlacionados), se puede demostrar que el quanto adelante se calcula como: $$ F^{\text{quanto}}(t,T) = F(t,T) e^{-\rho \sigma_S \sigma_X (T-t)} $$ donde $\sigma_S$ (resp. $\sigma_X$ ) son las volatilidades constantes de los GBM individuales; $\rho$ es su correlación instantánea; y $F(t,T)$ el precio estándar de la renta variable a plazo en $T$ del activo $S$ cuyo precio al contado se conoce en el momento $t$ .

Ahora, si eliges $\sigma_S = f(K)$ entonces claramente el quanto adelante se convierte en una función de $K$ . Esto significa que el primer momento de la distribución de $\xi_0 S_T$ (por lo tanto $S_T$ ) es una función de $K$ que viola la anterior suposición de unicidad.

Answer 2

El principal problema con la respuesta de @quantuple es que el precio no converge al precio Black-Scholes cuando rho=0 o cuando el ajuste del quanto es despreciable.

La pregunta se responde en la sección 4 del documento Sobre la simulación de un proceso Quanto bajo volatilidad local

En particular, se muestra que el uso de vols atm (tanto fx como equity) para el ajuste del quanto y vol @ strike para la fórmula Black-Scholes conduce a resultados razonables. Como se ha mencionado en otros comentarios, el uso de un vol dependiente del strike para el ajuste del quanto va a dar lugar a arbitrajes o a ser incoherente.

Por último, un ajuste más sofisticado consiste en utilizar un vol fabricado basado en la distribución de los procesos de FX y Equity, como en el documento Sonrisa de la volatilidad implícita de Quanto

Answer 3

Cuando se valora un quanto se necesita tener un modelo para ambos activos individuales con un factor de correlación, y otro modelo para el FX (por ejemplo, se pueden tener dos modelos Hull White para los tipos IR y un modelo Black y Scholes para la difusión del FX). La correlación se calibra principalmente sobre valores históricos, ya que la correlación implícita no es realmente accesible.