Precio de una opción asiática con el cuadrado de la media de la rentabilidad

Question

Hay una forma cerrada de la solución de la siguiente fórmula de precios? Suponiendo que $dS_t=rSdt+\sigma S_t dW_t$ bajo el Q la dinámica de la

$e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathcal{P}[(\frac{(\int_0^T S_u du)}{T})^2]$

Sé que la integral de un movimiento browniano geométrico no tiene buen reparto, pero es el mismo con el cuadrado de la integral?

Answer 1

Sí se sabe que en forma cerrada. Ver https://www.rocq.inria.fr/mathfi/Premia/free-version/doc/premia-doc/pdf_html/asian_doc/asian_doc.html la sección 5.1, el cual hace referencia a un antiguo Geman-Yor de papel.

Answer 2

Un par de consejos. La primera nota que $e^{-rt}S_t$ es una martingala. Para hacer que aparezca y, a continuación, integrar por parte de reescribir $\int S_u du$ como una integral estocástica. Por último, utilice el Ito isometría de la propiedad.

Answer 3

El $P$ dinámica de los activos subyacentes son: \begin{align*} dS=S(\mu dt+\sigma dB_t) \end{align*} Que tiene la siguiente solución debajo de los $\mathcal{P}$ dinámica: \begin{align*} S_t=S_0 e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} \end{align*} Donde $W_t$ es el equivalente de martingala con respecto a la original movimiento browniano geométrico. Definir $Y_t=\int_0^t S_u du$, entonces, de acuerdo a Feynman-Kac el valor de replicar la cartera está dada por \begin{align*} V_t&=e^{-r(T-t)}\frac{1}{T^2}\mathbb{E}_t^\mathcal{P}[(Y_t+\int_t^T S_udu)^2)\\ &=\frac{e^{-r(T-t)}}{T^2} \mathbb{E}_t^\mathcal{P}[Y_t^2 + 2Y_t \int_t^T S_u du + (\int_t^T S_u du)^2]\\ \end{align*} Así: \begin{align*} \mathbb{E}_t^\mathcal{P}[\int_t^T S_u du]&=S_t \mathbb{E}_t^\mathcal{P}[\int_t^T \frac{S_u}{S_t} du]\\ &=S_t \int_t^T e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(u-t)}\mathbb{E}^\mathcal{P}[e^{\sigma (W_u-W_t)}] du\\ \end{align*} Desde $W_u-W_t$ siguiente $\mathcal{N}(0, u-t)$ bajo $P$. De acuerdo a la m.g.f. \begin{align*} &=S_t \int_t^T e^{i(u-t)}du\\ &=\frac{S_t}{r}. (e^{r(T-t)}-1)\\ &=\frac{x}{r}. (e^{r(T-t)}-1) \end{align*} Permite calcular ahora la expectativa de la plaza de la integral: \begin{align*} \mathbb{E}_t^\mathcal{P}[(\int_t^T S_u du)^2]&=S_t^2 \mathbb{E}_t^\mathcal{P}[\int_t^T \frac{S_u}{S_t}du \int_t^T \frac{S_v}{S_t}dv ]\\ &= S_t^2 \int_t^T \int_t^T \mathbb{E}^\mathcal{P}[\frac{S_u}{S_t} \frac{S_v}{S_t}]dv du\\ \end{align*} Le permite enfocarse en: $\mathbb{E}^\mathcal{P}[\frac{S_u}{S_t} \frac{S_v}{S_t}]$, permite assum $t \leq v \leq u$ \begin{align*} \mathbb{E}^\mathcal{P}[\frac{S_u}{S_t} \frac{S_v}{S_t}&=\mathbb{E}^\mathcal{Q}[e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(u-t)+\sigma(W_u-W_t))}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(v-t)+\sigma(W_v-W_t))}]\\ &=e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(u-t)+(r-\frac{\sigma^2}{2})(v-t)}\mathbb{E}^\mathcal{Q}[e^{\sigma(W_u-W_v)+2\sigma (W_v-W_t)}]\\ &=e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(u-t)+(r-\frac{\sigma^2}{2})(v-t)}\mathbb{E}^\mathcal{Q}[e^{\sigma(W_u-W_v)}]\mathbb{E}^\mathcal{Q}[e^{2\sigma(W_u-W_t)}]\\ &=e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(u-t)+(r-\frac{\sigma^2}{2})(v-t)}e^{\frac{\sigma^2}{2}(u-v)}e^{2\sigma^2(v-t)}\\ &= e^{ur}e^{u(r+\sigma^2)}e^{-t(2r+\sigma^2)} \end{align*} Así: \begin{align*} \mathbb{E}_t^\mathcal{P}[(\int_t^T S_u du)^2]&=2S_t^2 \int_t^T \int_t^u e^{ur}e^{u(r+\sigma^2)}e^{-t(2r+\sigma^2)}dv du\\ & = \frac{2x^2}{r+\sigma^2}(\frac{1}{2r+\sigma^2}e^{(2r+\sigma^2)(T-t)}-\frac{1}{r}e^{r(T-t)}+\frac{r+\sigma^2}{(2r+\sigma^2)r}) \end{align*} Mezcla todo junto, se obtiene: \begin{align*} V(t,x,y)&=\frac{y^2}{T^2}e^{rt-rT}+\frac{1}{T^2}\frac{2xy}{r}(1-e^{rt-rT})\\ & + \frac{1}{T^2}\frac{2x^2}{r+\sigma^2}(\frac{1}{2r+\sigma^2}e^{(r+\sigma^2)(T-t)}-\frac{1}{r}+\frac{r+\sigma^2}{(2r+\sigma^2)r}e^{-r(T-t)}) \end{align*}