La lectura de Gatheral de La volatilidad de la superficie, página 7.
El modelo que están hablando es
$$\begin{align}dS_t&=\mu_tS_tdt+\sqrt{\nu_t}S_tdZ_1\\d\nu_t&=\alpha(S_t,\nu_t,t)dt+\eta\beta(S_t,\nu_t,t)\sqrt{v_t}dZ_2\\\left[Z_1,Z_2\right]&=\rho dt\end{align}$$
donde $S_t$ es el precio de una acción, y $\nu_t$ volatilidad estocástica.
Hay una opción en $S$, con precio de $V(S_t,\nu,t)$ y otro activo $V_1$ dependiendo de la volatilidad.
Una cartera de $\Pi=V-\Delta V-\Delta_1 V_1$, con $\Delta$ y $\Delta_1$ elegido de tal forma que éste evoluciona como el mercado de dinero de la cuenta
$$dB_t=r_tB_tdt$$
con $r_t$ asumido determinista.
[saltar la larga ecuaciones]
Se consigue un gran diferencial operador aplicado a $V$ y se aplica a $V_1$ más los dos por igual a alguna función que escribir en la forma $-(\alpha\phi\beta\sqrt{\nu})$, para alguna función $\phi$. Hasta ahora tan bueno. Y llaman a los $\phi$ el riesgo de mercado, de riesgo de volatilidad.
Con las opciones de $\Delta$ y $\Delta_1$, se forma una cartera de $\Pi_1=V-\Delta$ S de donde
$$d\Pi_1-r\Pi_1=\beta\sqrt{\nu}\frac{\partial V}{\partial \nu}\left(\phi dt+dZ_2\right)$$
Tan lejos y tan bien, demasiado. Ahora dicen que "definir el riesgo de la deriva neutra como"
$$\alpha=\alpha\beta\sqrt{\nu}\phi$$
la ecuación para $\nu$ se convierte en
$$d\nu_t=\alpha'dt+\beta\sqrt{\nu}dZ_2$$.
Aquí es lo que no entiendo. ¿Por qué ellos son libres de definir el riesgo neutral a la deriva? Es el modelo está completo y arbitraje libre el riesgo de la deriva neutra no es algo que uno elige, ¿no? Se trata de la única libre de riesgo medida, ¿no?
Soy un principiante en esto de las cosas. Yo podría estar equivocado.
Como alternativa, ¿por qué está libre de riesgo de la deriva igual a $\alpha\beta\sqrt{\nu}\phi$?
Mi respuesta posible. Pero no estoy seguro. Probablemente mi confusión es que no sé bien la definición de libre de riesgo.
Es que libre de riesgo sólo medios para conseguir la cartera, $\Pi_1$ en este caso, para tener la deriva $r$, como pasa con el stock en el modelo Black-Scholes? Vemos que
$$d\Pi_1=r\Pi_1dt+\beta\sqrt{\nu}\frac{\partial V}{\partial \nu}d Z_2'$$ con $Z_2':=\int_{0}^{t}\phi+Z_2$.
