Lo ideal sería una explicación intuitiva con un ejemplo, por favor.
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La cubatura (de un orden determinado) es un método general que permite hacer una integración aproximada siendo exacta en un subconjunto del integrando. Si se da una medida $M$ por ejemplo $\mathbb R^n$ entonces se acercará $M$ por (típicamente) una medida discreta $M^d=\sum_{i=1}^m \lambda_i\delta(x_i) $ tal que los polinomios $P$ de grado inferior o igual a $\gamma$ tienes..:
$$\int_{\mathbb R^n}P(x)dM(x)=\sum_{i=1}^m \lambda_i.P(x_i)$$
En el contexto de un proceso de difusión estocástica $X_t$ definido por una SDE (idealmente en una forma de Stratonovitch), si se tiene la para calcular la expectativa de un funcional de la trayectoria de difusión, entonces se puede pensar en esto como una integración sobre la medida de Wiener. Formalmente esto se ve como :
$$E_{\mathbb{W}}[F(X_.)]=\int_{p\in Path}F(p)d\mathbb{W}(p)$$
Por supuesto, aquí el problema es infinitamente dimensional, por lo que es bastante difícil de abordar en toda su generalidad y en una forma numéricamente manejable.
De todos modos usando la Cubatura sobre el Espacio de Wiener se puede "en cierto modo" aproximar el problema cambiando a otro (y más simple de usar) espacio medido sobre caminos de variación finita (¡recordemos que la medida de Wiener no pesa el camino de variación finita!!) y esta medida aproximada es tal que coincide con los valores momentos de la Medida de Wiener de la Integral de Wiener Iterada.
Esto transforma la EDE en una EDO clásica (que puede ser resuelta analíticamente o numéricamente), y finalmente su expectativa de su funcional se convierte, con suerte, en numéricamente trazable.
Saludos
r0n.
Puntos
19
La palabra cubatura es sólo un reemplazo de la cuadratura en el entorno de dimensión infinita, como el espacio de Wiener, como en la respuesta de @TheBridge. El término se utiliza en el contexto de la integración de funciones de procesos estocásticos $$ E[F(X)] $$ donde X es una variable aleatoria valorada en un espacio funcional como la solución de una EDE o simplemente el movimiento browniano. La idea es aproximar esta cantidad por una cantidad de la forma
$$ \sum_{i=1}^N p_i F(\gamma_i) $$ donde $(\gamma_i)_{1 \leq i \leq N}$ son un conjunto de funciones deterministas.
Hasta ahora, hay dos enfoques principales para obtener fórmulas de cubatura en el entorno de dimensión infinita.
1) Cuantificación funcional
Cuantificación funcional para la numérica con una aplicación a la valoración de opciones Por Gilles Pagès y Jacques Printems
2) Cubatura polinómica
Cubatura en espacios de Wiener Por Terry Lyons
El método (1) es una contraparte de dimensión infinita de la regla del punto medio sobre un intervalo, y al igual que con la regla del punto medio, se puede utilizar la extrapolación de Richardson Romberg con el número de puntos de discretización para mejorar la velocidad de convergencia.
El método (2) es una contraparte de dimensión infinita de la integración de Gauss. Es exacto en polinomios del Proceso de Wiener en el sentido de integrales iteradas del movimiento browniano.
El enfoque de cuantificación es aplicable a las difusiones brownianas, pero también al movimiento browniano fraccionario y a otros casos.
