Sistema de ecuaciones diferenciales - Subasta asimétrica de primer precio

Question

Estoy trabajando en un problema de mi libro de texto de Teoría de las Subastas sobre una subasta asimétrica de primer precio para dos jugadores. Supongamos que los postores son neutrales al riesgo. El enunciado del problema es el siguiente:

Supongamos que el licitador $1$ El valor de $X_{1}$ se distribuye según $F_{1}(x) = \frac{1}{4}(x-1)^{2}$ en $[1, 3]$ y licitador $2$ se distribuye de acuerdo con $\text{exp}(\frac{2}{3}x - 2)$ en $[0, 3]$ . Demostrar que $\beta_{1}(x) = x - 1$ y $\beta_{2}(x) = \frac{2}{3}x$ constituyen estrategias de puja de equilibrio en una subasta de primer precio.

Estoy tratando de trabajar en la derivación de $\beta_{1}$ y $\beta_{2}$ . Lamentablemente, mis conocimientos de ecuaciones diferenciales no son muy sólidos. ¿Podría alguien comprobar mi trabajo y decirme si tengo errores lógicos? He derivado las funciones de oferta correctas, pero no estoy totalmente seguro de que mi trabajo sea correcto.

En primer lugar, supongamos que las funciones de oferta de equilibrio $\beta_{1} : [1, 3] \to \mathbb{R}_{+}, \beta_{2} : [0, 3] \to \mathbb{R}_{+}$ son estrictamente crecientes y diferenciables. Definir $g_{1}(x) = \beta_{1}^{-1}(x)$ y $g_{2}(x) = \beta_{2}^{-1}(x)$ .

Jugador $i$ con valoración $v$ sólo puede variar su oferta, por lo que trata de encontrar la oferta óptima dada por el problema de optimización siguiente.

$$\max_{b} F_{-i}(g_{-i}(b)) \cdot (v - b)$$

Consideramos las condiciones de primer orden:

$$F_{-i}(g_{-i}(b)) = \dfrac{f_{-i}(g_{-i}(b))}{\beta_{-i}^{\prime}(g_{-i}(b))} \cdot (v-b)$$

En equilibrio, $v = g_{i}(b)$ . Aplicando esto y observando $\dfrac{1}{\beta_{-i}^{\prime}(g_{-i}(b))} = (g_{-i}(b))^{\prime}$ tenemos:

$$(g_{-i}(b))^{\prime} = \dfrac{F_{-i}(g_{-i}(b))}{f_{-i}(g_{-i}(b))} \cdot \dfrac{1}{g_{i}(b) - b}$$

Enchufando cada $F_{i}$ obtenemos:

$$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}$$

Y:

$$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}$$

En el equilibrio, tenemos $\beta_{1}(3) = \beta_{2}(3)$ . Por la racionalidad individual, $\beta_{2}(0) = 0 \implies g_{2}(0) = 0$ .

Aunque obviamente podría utilizar el enunciado del problema que $\beta_{1}(x) = x - 1$ para concluir que $g_{1}(0) = 1$ No sé cómo justificar esta condición de contorno de forma independiente. ¿Alguien tiene alguna idea al respecto?

Sin embargo, asumiendo esta condición límite, observo:

$$g_{2}^{\prime}(0) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1 - 0} = \dfrac{3}{2}$$

Desde aquí, puedo agitar la mano y adivinar que $g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2}$ lo que implicaría $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo derivar esto formalmente. ¿Alguien tiene alguna idea al respecto?

Una vez que tenga $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$ Puedo conectarme a $g_{1}^{\prime}(b)$ para conseguirlo:

$$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{\dfrac{3}{2}b - b} = \dfrac{g_{1}(b) - 1}{b}$$

Que es una ecuación diferencial lineal de primer orden, cuya solución es:

$g_{1}(b) = b + 1 \implies \beta_{1}(v) = v - 1$ .

Y tenemos $\beta_{2}(v) = \dfrac{2}{3}v$ .

Mi trabajo es ciertamente un poco ondulado. Agradecería mucho cualquier ayuda para concretar los detalles. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Seguí la sugerencia de Oliv, que fue bastante fructífera. Así que tenemos las ecuaciones diferenciales:

$$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}$$

Y:

$$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}$$

Con las condiciones de contorno $g_{2}(0) = 0$ y $g_{1}(\overline{b}) = g_{2}(\overline{b}) = 3$ , donde $\overline{b}$ es la oferta máxima.

Ahora suponemos que $g_{1}(b) = \alpha b + \gamma$ y $g_{2}(b) = \delta b + \lambda$ . Aplicando $g_{2}(b) = 0$ produce que $\lambda = 0$ .

A continuación, sustituyo $g_{1}(b)$ en $g_{2}^{\prime}(b)$ para obtener:

$$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{(\alpha - 1)b + \gamma}$$

Integración de $g_{2}^{\prime}(b)$ produce

$$g_{2}(b) = \dfrac{3}{2(\alpha - 1)} ln( (\alpha - 1)b + \gamma)$$

Observamos que no hay ninguna constante al integrar, ya que $g_{2}(b) = \delta b$ . Ahora aplicamos $g_{2}(0) = 0$ de nuevo, concluyendo que $ln( \gamma) = 0$ . Y así $\gamma = 1$ . Así, $g_{1}(b) = \alpha b + 1$ .

Ahora resolvemos:

$$g_{2}(\overline{b}) = 3 = \dfrac{3}{2(\alpha - 1)} ln( (\alpha - 1)\overline{b} + \gamma)$$

A partir de esto y observando que $g_{1}(\overline{b}) = 3 = \alpha \overline{b} + 1$ obtenemos:

$$e^{2(\alpha - 1)} = 3 - \overline{b} \implies \overline{b} = 3 - e^{2(\alpha - 1)}$$

Si se introduce esto en $g_{1}(b)$ rendimientos:

$$g_{1}(\overline{b}) = \alpha(3 - e^{2(\alpha - 1)}) + 1 = 3$$

Lo que implica que la solución $\alpha = 1$ . Así, $\overline{b} = 2$ .

Así que $\delta = \dfrac{3}{2}$ .

Así, $g_{1}(b) = b + 1 \implies \beta_{1}(v) = v - 1$ y $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$ implica $\beta_{2}(v) = \dfrac{2}{3}v$ como se desee.