Derivación de la función de producción de transgénicos

Question

He tenido dificultades para derivar la función de producción de transgénicos definida como:

$$ \ln y= \alpha_0 + \sum_ {i=1}^n \alpha_i \ln x_i+ \frac {1}{2} \sum_ {i=1}^n \sum_ {j=1}^n\ \beta_ {ij} \ln x_i \ln x_j $$

Sé que empezamos con una función de producción de bitácora. $$ \ln y= \alpha_0 + \sum_ {i=1}^n \alpha_i\ln x_i$$

El siguiente paso de lo que recuerdo es llevar la serie de Taylor de esta función alrededor del punto $x_i=0$ . la razón por la que esto es un problema es porque $ \ln (0)$ no está definido.

¿Cómo se deriva exactamente esta función?

Answer 1

La idea es, en efecto, que Taylor amplíe la función de producción. Para justificarlo, se puede empezar con la constante elasticidad de la función de sustitución, que en el caso de dos factores se puede escribir como

$$ Y = A[ \alpha K^ \gamma + (1 - \alpha )L^ \gamma ]^{1/ \gamma } \tag {1} $$

en este caso $X_1 = K$ , $X_2 = L$ . Ahora nos expandimos $ \ln Y$ alrededor de $ \gamma = 0$ (recuerde que el CES se aproxima a una función de producción de cobb-douglas cuando $ \gamma \approx0 ).$

$ \gamma ^0$ término

$$ \lim_ { \gamma \to 0} \ln Y = \ln (A K^ \alpha L^{1 - \alpha }) \tag {2} $$

$ \gamma ^1$ término

\begin {eqnarray} \lim_ { \gamma \to 0} \frac { \partial \ln Y}{ \partial \gamma } &=& \lim_ { \gamma \to 0} \frac { \alpha K^{ \gamma } \ln (L)+(1- \alpha ) l^{ \gamma } \log (L)}{ \gamma \left ( \alpha K^{ \gamma }+(1- \alpha ) L^{ \gamma } \right )}- \frac { \ln \left ( \alpha K^{ \gamma }+(1- \alpha ) L^{ \gamma } \right )}{ \gamma ^2} \\ &=& \frac {1}{2} (1 - \alpha ) \alpha ( \ln (K)- \ln (L))^2 \tag {3} \end {eqnarray}

Hasta el primer pedido que tenemos entonces

\begin {eqnarray} \ln Y & \approx & \color {azul}{( \ln Y)_{ \gamma = 0}} + \color {Rojo}{ \left ( \frac { \partial \ln Y}{ \partial \gamma } \right )_{ \gamma = 0} \gamma } \\ & \stackrel {(2),(3)}{=}& \color {azul}{ \ln A + \alpha \ln K + (1 - \alpha ) \ln L} + \color {Rojo}{ \frac {1}{2} \alpha (1 - \alpha ) \gamma [ \ln K - \ln L]^2} \\ &=& \ln A + \alpha \ln X_1 + (1 - \alpha ) \ln X_2 + \frac { \alpha \gamma (1 - \alpha )}{2} \left [ \ln ^2 X_1 -2 \ln X_1 \ln X_2 + \ln ^2 X_2 \right ] \\ &=& \alpha_0 + \sum_ {i = 1}^2 \alpha_i \ln X_i + \frac {1}{2} \sum_ {i, j = 1}^2 \beta_ {y:i} \ln X_i \ln X_j \tag {3} \end {eqnarray}

Esto se extiende naturalmente a $n > 2$ como

$$ \ln Y = \alpha_0 + \sum_ {i = 1}^n \alpha_i \ln X_i + \frac {1}{2} \sum_ {i, j = 1}^n \beta_ {ij} \ln X_i \ln X_j $$

Answer 2

El transplante es un desarrollo de segundo orden de Taylor de $$ \log y = f( \log x) $$ en $ \log x$ alrededor de un punto arbitrario $x_0 \ne 0$ :

$$ \log y = f( \log x_0) + \frac { \partial f}{ \partial \log x^T}( \log x_0) \cdot ( \log x- \log x_0) + \frac {1}{2}( \log x- \log x_0)^T \frac { \partial ^2 f}{ \partial \log x \log x^T}( \log x_0) \cdot ( \log x- \log x_0) $$ $$= \alpha_0 + \alpha_x ^T \log x+ \frac {1}{2} \log x^TB \log x $$ donde se obtiene esta última reparameterización al definir: $$ \alpha_0 =f( \log x_0) - \frac { \partial f}{ \partial \log x^T}( \log x_0) \cdot\log x_0 + \frac {1}{2} \log x_0^T \frac { \partial ^2 f}{ \partial \log x \log x^T}( \log x_0) \cdot\log x_0$$ $$ \alpha_x = \frac { \partial f}{ \partial \log x}( \log x_0) - \frac { \partial ^2 f}{ \partial \log x \log x^T}( \log x_0) \log x_0$$ $$B= \frac { \partial ^2 f}{ \partial \log x \log x^T}( \log x_0). $$