Deje que el proceso de
$$I_t = \int_0^t f(s) W_s \,\mathrm d s $$
donde $W_s$ es el movimiento Browniano estándar. Mi pregunta son las siguientes:
Sabemos que $\mathbb{E} (I_{t})=0$ para todo $t$ y $f$ una función integrable. Hay una fórmula general para el segundo momento, es decir, $\mathbb{E}(I_{t}^2)$ ?
Gracias de antemano por cualquier comentario, ayuda, comentarios o referencias relacionadas con este tema.
Como @Canardini señalado, \begin{align*} E\big(I_t^2\big) &= E\left(\int_0^t f(s) W_s ds\int_0^t f(u) W_u du\derecho)\\ &= \int_0^t\!\int_0^t f(s)f(u)\min(s,u)dsdu\\ &= \int_0^t\left(\int_0^u f(s)f(u) s ds + \int_u^t f(s)f(u) u ds \derecho)du\\ &= \int_0^t \int_0^u sf(s) f(u)ds du + \int_0^t \int_u^t uf(u)f(s) ds du\\ &=2\int_0^t uf(u) \int_u^t f(s) ds du\\ &=-u\left(\int_u^t f(s) ds\derecho)^2\Big|_0^t+\int_0^t\left(\int_u^t f(s) ds\derecho)^2 du\\ &=\int_0^t \left(\int_s^t f(u)du\derecho)^2 ds. \end{align*} Alternativamente, se nota que \begin{align*} \int_0^t f(s) W_s ds &= W_t \int_0^t f(s) ds - \int_0^t \int_0^s f(u)du\, dW_s\\ &=\int_0^t f(s) ds\int_0^t dW_s - \int_0^t \int_0^s f(u)du\, dW_s\\ &=\int_0^t \int_s^t f(u)du\, dW_s. \end{align*} Entonces \begin{align*} E\big(I_t^2\big) &= \int_0^t \left(\int_s^t f(u)du\derecho)^2 ds. \end{align*}
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