Límite superior relativo a la envolvente de Snell

Question

Consideremos un proceso continuo no negativo $X = \left (X_t \right)_ {t\geq 0}$ satisfaciendo $ \mathbb E \left \{ \bar X \right\}< \infty $ (donde $ \bar X =\sup _{0\leq t \leq T} X_t $ ) y su envolvente de Snell

$$ \hat {X_\theta} = \underset {\tau \in \mathcal T _{\theta,T} } {\text{ess sup}} \ \mathbb E \left\{ X_\tau | \mathcal F_\theta \right \}$$

Me gustaría entender cómo justificar la siguiente desigualdad:

$$\mathbb E \left\{ \sup_{0\leq t \leq T} \hat X_t^p\right \} \leq \mathbb E \left\{ \sup_{0\leq t \leq T} \bar X_t^p\right \} $$

donde $\bar X_t = \mathbb E \left\{ \bar X | \mathcal F_t \right \}$

Answer 1

No estoy seguro (sólo he echado un vistazo rápido), pero ¿no es que tenemos $\hat{X} \leq \bar{X}$ y por lo tanto tenemos lo mismo para el $sup$ y dado que $p \geq 1$ tenemos esto para el poder de- $p$ .