Axioma débil de la preferencia revelada

Question

Tal vez sea un hecho bien conocido que he pasado por alto u olvidado, etc., pero recientemente he sentido curiosidad por saber si existe alguna conclusión sobre el mantenimiento del WARP en diferentes dimensiones para una estructura de elección determinada.

Entonces, si tengo una función de utilidad, $N$ agentes, $L$ productos y vectores de precios en $R^L_+$ y quiero determinar si el WARP se mantiene aquí, ¿es suficiente asumir que $L=2$ y probar el WARP. Es decir, ¿es cierto que si WARP se mantiene para $L=2$ también es válido para $L=N$ , $N \in \mathbb{N}$

Editar : Creo que debo añadir que sé que, en general, demostrar algo para un caso concreto no permite generalizar el resultado. Sin embargo, hay casos singulares en los que esas pruebas pueden funcionar. El primer ejemplo que se me ocurre es que siempre que la función de exceso de demanda es homogénea de grado cero podemos reducir el problema al simplex y basta con demostrar que sólo n-1 mercados despejan.

¿Por qué lo pregunto?

Intento determinar si el WARP es válido para una adaptación de la función de utilidad de aversión a la desigualdad de Fehr y Schmidt (1999). Pensé que sería más fácil hacerlo considerando $L=2$

Answer 1

Puedo arrojar algo de luz sobre la pregunta, pero no estoy seguro de poder responderla ya que no estoy seguro de que esté realmente bien definida.

(1) El axioma débil de la preferencia revelada es un concepto de la teoría de la decisión relativo a las elecciones de un solo agente. Por lo tanto, no entiendo cómo tener $N$ agentes es relevante para el problema.

(2) En general, si $U: X \to \mathbb{R}$ es una función de utilidad y $\mathscr{C}$ es una correspondencia de elección sobre $X$ tal que $\mathscr{C}(A) = \{x \in A \mid U(x) \geq U(y), \ \forall y \in A\}$ entonces $\mathscr{C}$ satisfará a WARP. Este es un ejercicio sencillo de utilizar las definiciones, y la dimensionalidad del espacio no debería jugar ningún papel (su verdad sobre un abstracto $X$ ).

(3) Si el espacio de consumo es $\mathbb{R}^l$ entonces las preferencias sobre definidas $\mathbb{R}^l$ . Cómo se proyectan las preferencias en $\mathbb{R}^2$ asuntos.

(4) Si interpreto tu pregunta a la denesp, de manera que preguntas: fija el $2 < k \leq l$ dimensiones de consumo y sólo dejar que las dimensiones 1 y 2 varíen (por supuesto, lo que fijamos las otras dimensiones de todavía puede hacer una diferencia), y asumir que esta correspondencia de elección restringida satisfizo WARP la correspondencia de elección en general satisfacer WARP.

Para responder a (4): si las elecciones provienen de una función de utilidad, entonces sí, trivialmente (véase el punto (2)). Si las elecciones son más generales, entonces no. Esto falla gravemente. Tomemos como contraejemplo una preferencia por $\mathbb{R}^3$ tal que fijando la tercera dimensión, el consumidor es indiferente sobre todos los elementos (es decir, la primera y la segunda dimensión son nulas). WARP se mantiene como $\mathscr{C}^{x}(A) = A$ para todos $A \in \mathbb{R}^2 \times \{x\}$ . Esto deja la 3ª dimensión totalmente sin restricciones. Dejando que la función de elección sobre esta última dimensión sea cíclica (es decir, que falle WARP), vemos que la elección original también lo sería.

(5) ¿Y si en cambio interpretamos tu pregunta como: vemos cada proyección bidimensional de elección. (Es decir, para cada $i,j \leq l$ , $i \neq j$ vemos la proyección de las elecciones sobre las dimensiones $i$ y $j$ fijando las demás dimensiones de forma arbitraria. Pues bien, si la forma de fijar las otras dimensiones importa a las opciones restringidas (por ejemplo, $\mathscr{C}^{x}$ en $\mathbb{R}^2 \times \{x\}$ no es lo mismo que $\mathscr{C}^{y}$ en $\mathbb{R}^2 \times \{y\}$ ). Entonces volvemos al mismo tipo de problema que (5)--- $\mathscr{C}$ puede ser cíclico cuando las dimensiones se fijan de forma diferente.

¿Y si la forma de fijar las dimensiones no afecta a la elección restringida (por lo que tenemos preferencias separables, a lo Koopmans)? Entonces WARP se mantendrá sobre $\mathscr{C}$ si se racionaliza mediante una relación de preferencia. Pero, el resultado no es muy interesante, ya que a partir de las elecciones restringidas conocer la elección de fuera de $\{x,y\}$ para todos $x,y \in \mathbb{R}^l$ . Es bien sabido que sólo es necesaria una elección binaria para verificar una racionalización. Sin esta restricción adicional, creo que todavía se podría cocinar un contraejemplo en el espíritu de (4) donde cíclicamente se pone en marcha cuando ciertos elementos (al menos 3, pairwise distintos sobre 3 dimensiones diferentes) están presentes.