Minimalista ejemplo de que los votantes los perfiles de rendimiento de los diferentes resultados

Question

Deje que el conjunto de alternativas a ser de $\left\{a,b,c,d\right\}$.

Vamos a no ser $n$ tipos de votantes perfiles, cada uno con un tipo diferente estricta ordenación del conjunto de alternativas.

El número de votantes pertenecientes a los tipos de perfil no tiene que ser el mismo, nos vamos a denotar a estos por $v_1,v_2,...,v_n$.

¿Cuál es el número mínimo de $n$, para los que pueden construir los perfiles de votante en tal manera que la regla de pluralidad (un.k.una. first-past-the-post), simple de ejecución off (elección con dos rondas) de la regla, la eliminación de la regla y el conteo de Borda todos dan resultados diferentes? (Suponga que no estratégicos a los votantes. Los resultados no deben ser los lazos.)

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EDITAR:
La regla de pluralidad tiene una ronda de votación, y quien tenga más votos gana.
Ejemplo: Reino Unido elecciones parlamentarias

La ejecución simple regla tiene dos rondas de votación. Los dos candidatos con más votos en la primera ronda en 1 de avanzar a la ronda 2. En la primera ronda en 2 de los votantes votar por su favorito candidatos restantes, y quien tenga más votos gana.
Ejemplo: elecciones presidenciales francesas

La eliminación de la regla es similar a la de run-off de la regla, pero tiene tres rondas (número de alternativas menos uno). En cada ronda, el candidato con menos votos es eliminado (en sentido figurado). Otros proceder a la siguiente ronda.
Ejemplo: un premio de la Academia (Oscar) de los votos

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Minimalista conjeturas ("aquí están algunos de los perfiles con $n = 4$") están bien, la solución ideal sería proporcionar una prueba de que $n$ es mínima.

Answer 1

En primer lugar, permítanme decir que este es un hermoso problema!

Aquí es una prueba de que $n=4$. Para demostrar que $n \leq 4$, considere el siguiente ejemplo:

• $m+4$ votantes tienen preferencias $a \succ d \succ b \succ c$
• $m+3$ votantes tienen preferencias $b \succ d \succ c \e una$
• $m+2$, los votantes tienen preferencias $c \succ d \succ b \e una$
• $m$ votantes tienen preferencias $d \succ c \succ un \succ b$

donde $m \geq 2$. Yo se lo dejo a usted para comprobar que $a$ es seleccionada por la regla de pluralidad, $b$ por el simple run-off, $c$ por la eliminación de la regla y $d$ por la Borda procedimiento.

Ahora, vamos a demostrar que $n>3$. Los casos $n=1$ y $n=2$ son triviales, así que supongamos $n=3$ y escribir $v_1,v_2,v_3$ para el número de votantes en los tres perfiles de votante. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $v_1 \geq v_2 \geq v_3$ que $a$ es seleccionada por la regla de pluralidad, que $b$ es seleccionado por la segunda vuelta electoral, que $c$ es seleccionado por la eliminación de la regla y que $d$ es seleccionado por el conteo de Borda.

El resultado de la regla de pluralidad muestra que $a$ es el más preferido por los votantes de grupo 1 (ya que gana, sin vínculos). Si $a$ fueron también preferido por los votantes de grupo 2, $un$ ganaría la segunda vuelta de las elecciones, lo cual es una contradicción. Por lo tanto $a$ es el más preferido por los votantes de grupo 1, $b$ es el más preferido por los votantes del grupo 2, y $v_1>v_2 \geq v_3$, la última desigualdad ser estricto si $b$ no es la más preferida por los votantes de grupo 3. Pero entonces es claro que tanto $a$ y $b$ sobrevivir las dos primeras rondas de la eliminación de la regla, es decir, que $c$ y $d$ son eliminados, lo que es una contradicción.

Answer 2

Esto no es matemáticamente riguroso, pero creo que el razonamiento es correcto.

Suponemos que la distribución de votos entre los votantes de los tipos es tal que no se permiten relaciones, que es donde importa. También, obviamente, el número mínimo de votantes tipos no pueden ser uno. Así que necesitamos al menos dos tipos de votantes.

Dada la ausencia de lazos familiares, en la Pluralidad del sistema, éste debe ser el caso que existe un par de primero-segundo de los candidatos, decir $\{a,b\}$. Sin pérdida de generalidad supongamos que en la Pluralidad, $un$ gana.

Ahora, es cierto que $\{a,b\}$ también será el candidato a la par en la segunda ronda de Ejecución Simple, si es así por la Pluralidad régimen. Para obtener un resultado diferente aquí, necesitamos un tercer votante tipo, que va a apoyar a $b$ aunque no era su primera preferencia (y un adecuado reparto de votos entre los tipos). Por lo tanto, concluimos que $n_{min} \geq 3$.

Considere ahora el sistema de Eliminación. En la primera ronda el cuarto de los votos de los candidatos será eliminado, por ejemplo, de $d$. En la segunda ronda, vamos a tener tres candidatos. Y la votación debe ser tal que el último par de candidatos es no $\{a,b\}$ (debido a que ambos han ganado en los otros dos sistemas). Así que debemos eliminar, ya sea $b$ o de $a$ y así obtener ya sea $\{a,c\}$ o $\{b,c\}$, y en ambos casos, $c$ debe ganar. Es esto posible con tres tipos de votantes?

No. Puesto que los votantes votar estrictamente por la preferencia de pedidos y estratégicamente, cada uno de los tres tipos de votantes votarán por su primera preferencia. Luego, con sólo tres tipos de votantes, tenemos necesariamente tendrán como último par $\{a,b\}$, lo que no queremos. Así llegamos a la conclusión de que necesitamos al menos un cuarto de los votantes, por lo que $n_{min} \geq 4$.

Y, de hecho, no necesitamos más que eso. Considere la posibilidad de

$$v_1:\; \{a,d,c,b\}$$ $$v_2:\; \{b,d,c,a\}$$ $$v_3:\; \{c,d,b,a\}$$ $$v_4:\; \{d,c,b,a\}$$

con

$$v_1>v_2>v_3>v_4$$ $$v_2+v_3> v_1 $$ $$v_3+v_4> v_2 $$

La primera desigualdad hace que $a$ ganar la Pluralidad, y les da las últimas par $\{a,b\}$ en la Pluralidad y el Simple Correr. La segunda desigualdad es suficiente para hacer que $b$ triunfo Simple de Ejecutar Fuera.

En el sistema de Eliminación, debido a la primera desigualdad $d$ sale primero. A continuación, la tercera desigualdad hace que $b$ a ser eliminado de la segunda, y nos quedamos con el final de la par $\{a,c\}$. A continuación, la segunda desigualdad de nuevo es suficiente para hacer que $c$ al ganador ($v_4$ también voto por $c$).

Como para el Conteo de Borda, considere $v_1=10, v_2=9, v_3=8, v_4=7$. $d$ ganará con $109$ puntos.