Aplicación de métodos de Montecarlo Vibrato

Question

Ciao, Estaba estudiando métodos de Montecarlo Vibrato y surgió una pregunta muy simple: ¿cuál es una aplicación real de este método? Déjame explicar.

En resumen, la idea principal del método es la siguiente: supongamos que desea calcular las sensibilidades de un derivado con un payoff discontinuo, entonces debería intentar lo siguiente:

1. Discretizar el tiempo con pilares $t_1, \dots, t_N$.
2. Supongamos que conoce el valor de la acción en el tiempo $t_{N-1}$ y, al conocerlo, integra analíticamente la función de payoff como $$ V(S_{N-1}) = \mathbb{E}[f(S_N) | S_{N-1}] $$
3. $V(S_{N-1})$ sigue siendo una cantidad estocástica que depende de $S_{N-1}$ pero ahora es una función diferenciable (esencialmente la integración funciona como una suavización del payoff inicial discontinuo). En este punto, puedes calcular la sensibilidad con respecto al parámetro $\lambda$ usando métodos clásicos de diferencia finita y Montecarlo aplicados a $V(S_{N-1})$ simulando la trayectoria $S_{N-1}$: $$ \partial_\lambda V(\lambda) = \frac{V(\lambda + h, S_{N-1}) - V(\lambda, S_{N-1})}{h} $$

El procedimiento es bastante inteligente y funciona desde un punto de vista numérico, pero no entiendo cómo podría ser útil. De hecho, por lo general, si puedes integrar desde $t_{N-1}$ hasta $t_N$, es decir, el paso $2$, puedes integrar comenzando desde $t_0, por lo que no tiene sentido usar Montecarlo y diferencia finita.

Esto es evidente, por ejemplo, para una opción de compra.

Entonces, mi pregunta es:

¿Puedes presentarme un caso en el que la total integrabilidad no sea posible (o demasiado difícil) pero la parcial (es decir, de $t_{N-1}$ a $t_N$) sea fácil de hacer (para que la técnica de Montecarlo Vibrato tenga sentido en ese caso)?

¡Gracias por tu ayuda!

¡Ciao ciao!

AM

Answer 1

Para mantener las notaciones despejadas, asuma costos de financiamiento cero y considere un reclamo contingente europeo valuado como $$ V = \Bbb{E}_0 \left[ h(S_N) \right] $$ Suponga que desea que la dependencia de su valuación en un parámetro de modelo específico $\theta$ aparezca. Entonces usualmente tiene las siguientes opciones de representación \begin{align} V &= \int_0^\infty h(S) q(S,\theta) dS \tag{1} \\ &= \int_{-\infty}^\infty h(S(z,\theta)) p(z) dz \tag{2} \end{align} donde $z$ es una variable aleatoria con una distribución conocida. Al expresar $\partial V/\partial \theta$ usando las expresiones anteriores + Fubini, la primera dará lugar al llamado método de Razón de Verosimilitud y la segunda al método de Sensibilidades de la Trayectoria \begin{align} \frac{\partial V}{\partial \theta} &= \int_0^\infty h(S) \frac{\partial q(S,\theta)}{\partial \theta} dS = \Bbb{E}_0 \left[ h(S_N) \frac{\partial \ln q}{\partial \theta} \right] \tag{1'} \\ &= \int_{-\infty}^\infty h(S(z,\theta)) p(z) dz = \Bbb{E}_0 \left[ h'(S_N) \frac{\partial S_N}{\partial \theta} \right] \tag{2'} \end{align}

El método ST requiere que la función de pago sea diferenciable, lo cual no siempre es el caso. Piense en una opción digital, diferenciar una función indicadora daría lugar a una función de Dirac, lo que significa que solo importarán las trayectorias simuladas que terminen justo en el precio de ejercicio, es decir, no es práctico.

La primera está bien siempre y cuando la distribución neutra al riesgo de $S_N$ sea manejable bajo el modelo en cuestión, lo cual no siempre es el caso (piense en la volatilidad local por ejemplo). Pero al simular la EDE, la distribución de $S_N \vert S_{N-1}$ será manejable de modo que el método RV a menudo se reescribe como $$ \Bbb{E}_0 \left[ h(S_N) \sum_{n=1}^N \frac{\partial \ln q(S_n \vert S_{n-1})}{\partial \theta}\right] $$ Uno de los problemas del método RV es que no exhibe una propiedad de convergencia extraordinaria. El Vibrato es presentado por su autor como un híbrido inteligente entre los dos.

Se ilustra fácilmente en el caso de una opción digital, que no tiene una función de pago diferenciable de modo que el método PS tradicional no se puede aplicar. La idea es que condicionalmente a $S_{N-1}$ la distribución de $S_N$ sea manejable. Entonces deberemos utilizar el método RV en el último paso temporal. Los parámetros de dicha distribución surgirán como funciones de $\theta$. Para obtener las sensibilidades de estos parámetros a $\theta$, usamos el método PS.

Entonces, en ese caso, Vibrato se reduce a aplicar el método PS para $t \in [0, t_{N-1}[$ para obtener la sensibilidad de los parámetros de la distribución condicional $q(S_N \vert S_{N-1})$ a $\theta$. Luego, para cada trayectoria generada, usar el método RV en el último paso temporal. Tenga en cuenta que esto da lugar a una especie de paso de Monte Carlo "anidado" (que se puede hacer analíticamente para pagos de vanilla y digitales) pero en absoluto a usar 'Diferencias Finitas' como sugiere usted?